河北省石家庄市威州中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

河北省石家庄市威州中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，且则 A. B.0 C.100 D.10200 参考答案： A 若为偶数，则，为首项为，公差为的等差数列；若为奇数，则，为首项为，公差为4的等差数列。所以，选A. 2. 已知是虚数单位，复数＝ A．        B．       C．       D． 参考答案： A 略 3. 已知x，y满足，则的取值范围是(     ) A．[0，] B．[0，] C．[1，] D．[2，] 参考答案： C 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=，则z=+1，设k=，利用k的几何意义，即可得到结论． 【解答】解：由题意绘出可行性区域如图所示， 设z=，则z=+1，设k=，则z=k+1， k的几何意义是可行域内任一点与点（4，2）连线的斜率k的取值范围， 由图象可得∈[0，]， ∴z=． 故选：C 【点评】本题主要考查线性规划的应用，将条件转化为z=k+1，利用数形结合是解决本题的关键． 4. 已知倾斜角为的直线与直线x -2y十2=0平行，则tan 2的值               A．               B．               C．              D． 参考答案： B 直线的斜率为，即直线的斜率为，所以，选B. 5. 已知双曲线上一点，过双曲线中心的直线交双曲线于两点，记直线的斜率分别为，当最小时，双曲线离心率为   A ．       B．        C      D 参考答案： B 6. 正四面体中，、分别是棱、的中点，则直线与平面所成角的正弦值为                                                             （    ）     A．          B．           C．           D． 参考答案： B 略 7. 函数的定义域是（  ） A．        B．          C．        D． 参考答案： B 试题分析：由题意1-x＞0且3x+1＞0，解得x∈，故选B． 考点：函数的定义域． 8. 若则的大小关系为   （    ） A．  B．  C．  D． 参考答案： B 略 9. 某店一个月的收入和支出总共记录了 N个数据，，。。。，其中收入记为正数，支出记为负数。该店用如下图的程序框图计算月总收入S和月净盈利V，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的   A.A＞0,V＝S－T                 B.A＜0,V＝S－T C.A＞0, V＝S＋T                 D.A＜0, V＝S＋T      参考答案： C 略 10. 变量 x y、满足线性约束条件，则目标函数 z=kx﹣y，仅在点（0，2）取得最小值，则k的取值范围是（　　） A．k＜﹣3 B．k＞1? C．﹣3＜k＜1 D．﹣1＜k＜1 参考答案： C 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=kx﹣y得y=kx﹣z， 要使目标函数y=kx﹣z仅在点A（0，2）处取得最小值， 则阴影部分区域在直线y=kx﹣z的下方， ∴目标函数的斜率k满足﹣3＜k＜1， 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 函数. 参考答案： 1 12. 已知数列为等差数列，且，，则 ____________. 参考答案： 略 13. 已知复数（i为虚数单位），则的模为    ． 参考答案： 5 14. 一个正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积是          ． 参考答案：      15. (几何证明选做题)如图，是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且，设，则的值为 _________； 参考答案： 设圆的半径为r，因为，所以，又，所以，所以。 16. 如果实数满足,若直线将可行域分成面积相等的两部分，则实数的值为______. 参考答案： -3 17. 计算：=          ．（为虚数单位） 参考答案： 因为. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：且 （1）求数列{an}的通项公式; （2）记，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： (1) 由且，得，解得 故                                              2分 当n=1时，                                       3分 当时，                           5分 且当n=1时上式仍成立，                         6分 （2）          9分      12分 19. 如图，正三棱柱的底面边长是，侧棱长是，是的中点． （Ⅰ）求证：∥平面； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在， 求出的长；若不存在，说明理由. 参考答案： （Ⅰ）证明：连结交于，连结，       因为三棱柱是正三棱柱，       所以四边形是矩形，       所以为的中点．       因为是的中点，       所以是三角形的中位线，                         ……………2分       所以∥．                                         ……………3分 因为平面，平面， 所以∥平面．                                   ……………4分 （Ⅱ）解：作于，所以平面，       所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系． 因为，，是的中点．       所以，，，， ……………5分       所以，， ．       设是平面的法向量，       所以即       令，则，，                                    所以是平面的一个法向量．             ……………6分       由题意可知是平面的一个法向量，      ……………7分 所以．                            ……………8分      所以二面角的大小为．                         ……………9分 （Ⅲ）设，则， 设平面的法向量，     所以即 令，则，， ，                                 ……………12分 又，即，解得，      所以存在点，使得平面平面且．   ……………14分   略 20. 已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝ （1）       求数列｛an｝的通项公式； （2）       证明：对于一切正整数n，不等式a1·a2·……an<2·n！   参考答案： 解析： （1）      将条件变为：1－＝，因此｛1－｝为一个等比数列，其首项为 1－＝，公比，从而1－＝，据此得an＝（n31）…………1° （2）      证：据1°得，a1·a2·…an＝ 为证a1·a2·……an<2·n！ 只要证n?N*时有>…………2° 显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个n?N*，有 31－（）…………3° 用数学归纳法证明3°式： （i）                     n＝1时，3°式显然成立， （ii）                   设n＝k时，3°式成立， 即31－（） 则当n＝k＋1时， 3〔1－（）〕·（） ＝1－（）－＋（） 31－（＋）即当n＝k＋1时，3°式也成立。 故对一切n?N*，3°式都成立。 利用3°得，31－（）＝1－ ＝1－> 故2°式成立，从而结论成立。   21. （本题满分12分）为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门组织了一次知识竞赛，现随机抽取了某校20名学生的测试成绩，得到如图所示茎叶图： （1）若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； （2）以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 参考答案： (2) 解：由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率 …………………6分                                     …………………7分 0 1 2 3 P                                                   …………………12分 22. 交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表： 交强险浮动因素和浮动费率比率表   浮动因素 浮动比率 A1 上一个年度未发生有责任道路交通事故 下浮10% A2 上两个年度未发生有责任道路交通事故 下浮20% A3 上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故 下浮30% A4 上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故 0% A5 上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故 上浮10% A6 上一个年度发生有责任道路交通死亡事故 上浮30% 某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了80辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格： 类型 A1 A2 A3 A4 A5 A6 数量 20 10 10 20 15 5 以这80辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题： （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，.某同学家里有一辆该品牌车且车龄刚满三年，记X为该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字） （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车.假设购进一辆事故车亏损4000元，一辆非事故车盈利8000元： ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率； ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值. 参考答案： （1）由题意可知的可能取值为，，，a，，. 由统计数据可知： 所以的分布列为： X 0.9a 0.8a 0.7a a 1.1a 1.3a P   所以……6分   （2）①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为，三辆车中至多有一辆事故车的概率为 ……………