湖北省武汉市蔡甸区第五高级中学校(高中部)高三数学理测试题含解析

湖北省武汉市蔡甸区第五高级中学校(高中部)高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. “在内”是“在内单调递增”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 参考答案： A ∵在内，则在内单调递增， 反过来，若在内单调递增，则， ∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件． 故选． 2. 把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式为(     ) A．y=cos2x B．y=﹣sin2x C． D． 参考答案： A 考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题． 分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象周期变换法则，我们可得到把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，对应图象的解析式，再根据函数图象的平移变换法则，可得到再把图象向左平移个单位，这时对应于这个图象的解析式． 解答： 解：函数y=sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，可以得到函数y=sin2x的图象 再把图象向左平移个单位，以得到函数y=sin2（x+）=cos2x的图象 故选A 点评：本题考查的知识点是函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，其中熟练掌握函数y=Asin（ωx+φ）的图象的平移变换、周期变换、振幅变换法则是解答本题的关键． 3. 下列说法正确的是（     ） A.命题“x＞0,sinx≤x”的否定是“x≤0,sinx＞x”. B.命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题是真命题. C.两平行线2x+2y－1=0与2x+2y－3=0之间的距离为. D.直线l1:ax+y+1=0，l2: x+ay－2=0，l1⊥l2的充要条件是a=±1. 参考答案： C 对于A，.命题“”的否定应该是“”；对于B，逆否命题的真假性与原命题一致，300≠1500.但sin300=sin1500；对于C，可利用两平行线间距离公式计算，得出C是正确的；对于D，. 4. PM2.5是空气质量的一个重要指标，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35μg/m3～75μg/m3之间空气质量为二级，在75μg/m3以上空气质量为超标.如图是某市2019年12月1日到10日PM2.5日均值（单位：μg/m3）的统计数据，则下列叙述不正确的是（    ） A. 这10天中，12月5日的空气质量超标 B. 这10天中有5天空气质量为二级 C. 从5日到10日，PM2.5日均值逐渐降低 D. 这10天的PM2.5日均值的中位数是47 参考答案： C 【分析】 先对图表信息进行分析，再由频率分布折线图逐一检验即可得解. 【详解】解：由图表可知，选项A，B，D正确， 对于选项C，由于10日的PM2.5日均值大于9日的PM2.5日均值， 故C错误， 故选：C. 【点睛】本题考查了频率分布折线图，考查数据处理和分析能力，属于基础题. 5. 若函数的图象如图所示，是函数的导函数，且是奇函数，则下列结论中错误的是                                                                    （    ）        A． B．        C．               D． 参考答案： B 6. 函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（　　） A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞） 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论． 【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0， ∴f（2）f（3）＜0， 在区间（2，3）内函数f（x）存在零点， 故选：B 【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键． 7. 已知函数，为的导函数，那么（  ） A. 将的图象向左平移个单位可以得到的图象       B. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象    C. 将的图象向左平移个单位可以得到的图象  D. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象 参考答案： A 8. 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k值是(     ) A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： C 【考点】程序框图． 【专题】算法和程序框图． 【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的S，k的值，当S=126，K=7时不满足条件S＜100，输出K的值为7． 【解答】解：执行程序框图，有 k=1，S=0 满足条件S＜100，S=2，K=2； 满足条件S＜100，S=6，K=3； 满足条件S＜100，S=14，K=4； 满足条件S＜100，S=30，K=5； 满足条件S＜100，S=62，K=6； 满足条件S＜100，S=126，K=7； 不满足条件S＜100，输出K的值为7． 故选：C． 【点评】本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题． 9. 已知双曲线c：=1（a＞b＞0），以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=2a，则双曲线C的离心率是(     ) A． B． C．2 D． 参考答案： C 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：连接NF，设MN交x轴于点B，根据双曲线渐近线方程结合图形的对称性，求出N（，），再由|NF|=c在Rt△BNF中利用勾股定理建立关于a、b、c的关系式，化简整理可得c=2a，由此即可得到该双曲线的离心率． 解答： 解：连接NF，设MN交x轴于点B ∵⊙F中，M、N关于OF对称， ∴∠NBF=90°且|BN|=|MN|==， 设N（m，），可得=，得m= Rt△BNF中，|BF|=c﹣m= ∴由|BF|2+|BN|2=|NF|2，得（）2+（）2=c2 化简整理，得b=c，可得a=，故双曲线C的离心率e==2 故选：C 点评：本题给出以双曲线右焦点F为圆心的圆过坐标原点，在已知圆F被两条渐近线截得弦长的情况下求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直线与圆的位置关系等知识，属于基础题． 10. 已知命题p：，；命题q：，，则下列命题中为真命题的是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A ，，故为假命题，为真命题.因为，，所以命题：，为假命题，所以为真命题，则为真命题，故选A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设函数，若时，恒成立， 则实数m的取值范围是                     参考答案： (－∞，1) 略 12. 在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足，则=　　． 参考答案：   【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算法则，求得要求式子的值． 【解答】解：Rt△ABC中，∵∠A=90°，AB=AC=1，点E是AB的中点，点D满足， ∴=?（﹣）=?[+]=?（+） ===， 故答案为：． 　 13. 若函数满足，有以下命题： ①函数可以为一次函数； ②函数的最小正周期一定为6； ③若函数为奇函数且，则在区间上至少有11个零点； ④若且，则当且仅当时，函数满足已知条件.其中错误的是                                                         A．①②       B．③④       C．①②③      D．①②④ 参考答案： D 略 14. 已知抛物线C：y2=4x，点M（﹣1，1），过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则实数k的值为            ． 参考答案： 2 考点：平面向量数量积的运算． 专题：向量与圆锥曲线． 分析：由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由，代入整理可求k． 解答： 解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0）， ∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1）， 联立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则， ∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4， ∵M（﹣1，1）， ∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1）， ∵， ∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0， 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0， ∴1=0， 即k2﹣4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2． 点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量． 15. 设，若，，则的最大值为          ； 参考答案： 4     略 16. 的展开式中的常数项是                    (用数字作答) 参考答案： 答案：－20 17. 已知△ABC的外接圆圆心为O，，，若（t为实数）有最小值，则参数t的取值范围是 . 参考答案： 由已知得：                 原式有最小值； 所以 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图1，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB边的中点，现把△ACP沿CP折成如图2所示的三棱锥A﹣BCP，使得． （1）求证：平面ACP⊥平面BCP； （2）求平面ABC与平面ABP夹角的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，得AO⊥CP，在△OCB中，有AO⊥OB，即AO⊥平面PCB， 可证平面ACP⊥平面CPB． （2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则， 求出平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解． 【解答】解：（1）证明：在图1中，取CP的中点O，连接AO交CB于E，则AE⊥CP， 在图2中，取CP的中点O，连接AO，OB，因为AC=AP=CP=2， 所以AO⊥CP，且，… 在△OCB中，由余弦定理有，… 所以AO2+OB2=10=AB2，所以AO⊥OB．… 又AO⊥CP，CP∩OB=O，所以AO⊥平面PCB， 又AO?平面ACP，所以平面ACP⊥平面CPB… （2）因为AO⊥平面CPB，且OC⊥OE，故可如图建立空间直角坐标系，则， ，… 设平面ABC的法向量为=（x，y，z）， 则由得；… 同理可求得平面ABP的法向量为，… 故所求角的余弦值．… 19. 已知对任意,都有  (为常数)并且当时, ⑴ 求证:是R上的减函数； ⑵ 若, 解关于m的不等式。 参考答案： 2)                  由        得