广西壮族自治区柳州市英山中学高二数学理上学期期末试卷含解析

广西壮族自治区柳州市英山中学高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 参考答案： C 【分析】 根据空间向量的基底判断②③的正误，找出反例判断①命题的正误，即可得到正确选项． 【详解】解：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；所以不正确．反例：如果有一个向量为零向量，共线但不能构成空间向量的一组基底，所以不正确． ②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；这是正确的． ③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底；因为三个向量非零不共线，正确． 故选：C． 【点睛】本题考查共线向量与共面向量，考查学生分析问题，解决问题的能力，是基础题． 2. 若P是两条异面直线外的任意一点，则（    ） A．过点P有且仅有一条直线与都平行        B．过点P有且仅有一条直线与都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与都相交       D．过点P有且仅有一条直线与都异面 参考答案： B 3. 将最小正周期为3π的函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位，得到偶函数图象，则满足题意的φ的一个可能值为（　　） A． B．﹣ C．﹣ D． 参考答案： B 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】由周期求得ω，可得函数f（x）的解析式，再根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：由于函数f（x）=cos（ωx+φ）﹣sin（ωx+φ）=cos（ωx+φ+）的最小正周期为3π=， 求得ω=，∴函数f（x）=cos（x+φ+）． 再把f（x）的图象向左平移个单位，得到偶函数y=cos[（x+）+φ+]=cos（x++φ）图象， 则满足题意的φ的一个可能值为﹣， 故选：B． 4. 若双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是（    ） A．         B．         C．        D． 参考答案： C 5. 程序框图如图21－1所示，则该程序运行后输出的B等于(　　) 图21－1 A．7                               B．15 C．31                              D．63 参考答案： D 6. “m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】求出直线垂直的充要条件，从而判断出结论即可． 【解答】解：若“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”， 则﹣=1，解得：m=﹣1， 故“m=﹣1”是“直线x+y=0和直线x+my=0互相垂直”的充要条件， 故选：C． 7. 已知复数，若是纯虚数，则实数等于 A．       B．     C．        D． 参考答案： D 8. 数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，则a8等于（　　） A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27 参考答案： C 【考点】等差数列；等差数列的通项公式． 【分析】数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3，可得an+1﹣an=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解； 【解答】解：∵数列{an}中，a1=﹣1，an+1=an﹣3， ∴an+1﹣an=﹣3， ∴a2﹣a1=﹣3， a3﹣a2=﹣3， … a8﹣a7=﹣3， 进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7， ∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22， 故选C； 9. 已知随机变量 ξ 的分布列为P（ξ=k）=（ k=1，2，…），则 P（2＜x≤4）为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】CG：离散型随机变量及其分布列． 【分析】根据随机变量的分布列，写出变量等于3，和变量等于4的概率，要求的概率包括两种情况这两种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果． 【解答】解：∵P（X=k）=，k=1，2，…， ∴P（2＜X≤4）=P（X=3）+P（X=4）=+=． 故选A． 10. 命题“”的否定是（    ）  A.                B.   C.          D. 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 双曲线的离心率为，则m等于　    　． 参考答案： 9 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用双曲线的离心率计算公式即可得出． 【解答】解：∵双曲线可得a2=16，b2=m， 又离心率为，则， 解得m=9． 故答案为9． 【点评】熟练掌握双曲线的离心率计算公式是解题的关键． 12. 已知双曲线x2－＝1(b＞0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________. 参考答案： 2 13. y=的最小值是__________. 参考答案： 5 略 14. 某中学开设A类选修课4门，B类选修课5门，C类选修课2门，每位同学从中共选4门课，若每类课程至少选一门，则不同的选法共有_______种. 参考答案： 160 【分析】 每位同学共选门课，每类课程至少选一门，则必有某类课程选2门，另外两类课程各选1门，对选2门的这类课程进行分类，可能是A类，可能是B类，可能是C类. 【详解】（1）当选2门的为A类，， （2）当选2门的为B类，， （3）当选2门的为C类，， 选法共有. 【点睛】分类与分步计数原理，要确定好分类与分步的标准，本题对选2门课程的课程类进行分类，再对每一类情况分3步考虑. 15. 如果从抛物线上各点，向轴作垂线段，那么线段中点的轨迹方程为                 。 参考答案： 16. 已知两向量与满足，且，则与的夹角为　    　． 参考答案： 120° 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】将展开计算，代入夹角公式计算． 【解答】解： =16， =4， ∵， ∴+2+3=12，∴ =﹣4， ∴cos＜＞==﹣． ∴与的夹角为120°． 故答案为：120°． 17. 设P是椭圆上的点．若F1、F2是椭圆的两个焦点，则PF1+PF2=           ． 参考答案： 10 【考点】椭圆的定义． 【专题】计算题． 【分析】先确定椭圆中2a=10，再根据椭圆的定义，可得PF1+PF2=2a=10，故可解． 【解答】解：椭圆中a2=25，a=5，2a=10 ∵P是椭圆上的点，F1、F2是椭圆的两个焦点， ∴根据椭圆的定义，PF1+PF2=2a=10 故答案为：10 【点评】本题以椭圆的标准方程为载体，考查椭圆的定义，属于基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18.  已知数列满足,它的前项和为,且. ①求通项, ②若,求数列的前项和的最小值.   参考答案： ①是等差数列. 设的首项为 公差为,由 得,　∴ ∴ ② 解得,得 , 前15项为负值,最小 可知  19. 已知一圆经过点A（3，1），B（﹣1，3），且它的圆心在直线3x﹣y﹣2=0上． （1）求此圆的方程； （2）若点D为所求圆上任意一点，且点C（3，0），求线段CD的中点M的轨迹方程． 参考答案： 【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系． 【专题】转化思想；参数法；直线与圆． 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （2）首先设出点M的坐标，利用中点得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程． 【解答】解：（1）由已知可设圆心N（a，3a﹣2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有=，解得：a=2． 于是圆N的圆心N（2，4），半径r=． 所以，圆N的方程为（x﹣2）2+（y﹣4）2=10． （2）设M（x，y），又点D是圆N：（x﹣2）2+（y﹣4）2=10上任意一点，可设D（2+cosα，4+sinα）． ∵C（3，0），点M是线段CD的中点， ∴有x=，y=， 消去参数α得：（x﹣）2+（y﹣2）2=． 故所求的轨迹方程为：（x﹣）2+（y﹣2）2= 【点评】本题考查圆的方程，考查参数法，圆的方程一般采用待定系数法，属于中档题． 20. 在△ABC中，已知AB=，cosB=，AC边上的中线BD=，求sinA的值． 参考答案： 【考点】余弦定理；正弦定理． 【专题】计算题． 【分析】解三角形的特征是把题目中所给的条件全部集合到一个三角形中，依次解出边、角，达到解三角形的目的． 方法一通过充分利用D是中点，构造新三角形，在新三角形中解出BC的一半求出BC，再由余弦定理求边AC，下则可用正弦定理求出sinA； 方法二根据所给的条件巧妙地建立了一个直角坐标系，将三角问题转化到向量中研究，大大降低了分析问题的难度，首先是求出了，两个向量，利用公式求出了两个向量的夹角A的余弦，再求正弦．此法越过了构造新三角形，使得方法易想． 方法三与方法一类似构造了一系列的新三角形，此方法充分利用D是中点这一性质构造出了一个平行四边形，使得求三角形的另两边的边长时视野开阔，方法也较巧妙． 【解答】解：解法一：设E为BC的中点，连接DE，则DE∥AB，且DE=AB=，设BE=x． 由DE∥AB可得出∠BED=π﹣∠B，即cos∠BED=﹣ 在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2﹣2BE?EDcos∠BED，5=x2++2××x， 解得x=1，x=﹣（舍去）． 故BC=2，从而AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB=，即AC= 又sinB=，故=，sinA=． 解法二：以B为坐标原点，为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限． 由sinB=，则=（cosB， sinB）=（，）， 设=（x，0），则=（，）． 由条件得||==． 从而x=2，x=﹣（舍去）．故=（﹣，）． 于是cosA===． ∴sinA==． 解法三：过A作AH⊥BC交BC于H，延长BD到P使BD=DP，连接AP、PC． 过P做PN⊥BC交BC的延长线于N，则HB=ABcosB=，AH=， BN====， 而 HB=，∴CN=，HC=，AC==． 故由正弦定理得=，∴sinA=． 【点评】构造法解三角形，如果条件不在一个三角形中时首先要做的就是把这些条件转化到一个新构造出来的三角形中，此三角形与要研究的三角形之间必有确定的关系，通过解新三角形来达到解要研究三角形的目的． 利用三角与向量之间的关系转化到向量中去也是解三角形的一个好办法，此法大大降低了解三角形时思维的深度，方法较好，数学解题中的一个重要能力就是灵活转化，本题能起到培养答题者转化化归意识的一道好题． 21. 定义在R上的偶函数，当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）求函数在上的最大值和最小值． 参考答案： （1）（2）最大值是-1，最小值是-22 【分析】 （1