河南省洛阳市孟津县城关第一中学高二数学理测试题含解析

河南省洛阳市孟津县城关第一中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知角的终边经过点P(x，)，(x>0)，且cos=，则sin等于(    ) A.           B.          C.           D. 参考答案： D 2. 在△中，，， ，则边               A．1 B． C． D． 参考答案： C 略 3. 已知等比数列{an}的公比为正数，且a3?a9=2a52，a2=1，则a1=(     ) A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】等比数列的性质． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3?a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值． 【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2?a1q8=2（a1q4）2， 即q2=2，又因为等比数列{an}的公比为正数， 所以q=，故a1=． 故选B． 【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 4. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 （  ） A．       B．    C．      D． 参考答案： D 5. 12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，每个路口4人，则不同的分配方案共有                                        A．种       B．3种      C．种       D．种 参考答案： A 6. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： D 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果． 【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8， 解这个方程组需要用一些技巧， 因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|， 设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4； ∴|x﹣y|=2|t|=4， 故选D． 7. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是（    ） 参考答案： A 8. 设，则下列不等式一定成立的是（     ） (A)      (B)     (C)     (D) 参考答案： D 9. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了（   ） A. 6里 B. 12里 C. 24里 D. 96里 参考答案： A 【分析】 由题意可知该问题为等比数列的问题，设出等比数列的公比和首项， 依题意可求出首项和公比，进而可求出结果. 【详解】由题意可得，每天行走的路程构造等比数列，记作数列， 设等比数列的首项为，公比为，依题意有，解得，则，最后一天走了6里，故选A. 【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的概念以及通项公式和前n项和公式即可，属于基础题型. 10. 已知、是两个不同平面，m为内的一条直线，则“m∥”是“∥”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 【分析】 m∥β不一定得到直线与平面平行，由此可判断不充分，由面面平行的定义及性质可判断必要性. 【详解】α、β表示两个不同的平面，直线m?α，m∥β，不一定得到直线与平面平行， 还有一种情况可能是直线和平面相交， ∴不满足充分性； 当两个平面平行时，由面面平行的定义及性质可知：其中一个平面上的直线一定平行于另一个平面，一定存在m∥β，∴满足必要性， ∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件 故选：B． 【点睛】本题考查充分必要条件的判断和线面、面面平行的定义及性质的应用，解题的关键是熟练掌握平面与平面平行的判定与性质定理，是一个基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若双曲线x 2 – y 2 = 1的右支上有一点P( a，b )到直线y = x的距离为，则a + b =     。 参考答案： ± 12. 命题“”的否定是 ________． 参考答案： 本题主要考查的是命题的否定. 命题“”的否定是“”.故答案为: 【备注】全称命题的否定是特称命题. 13. 在平面直角坐标系中，点到直线的距离为，则实数的值是__________． 参考答案： 解：到的距离为， ∴． 14. 若椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0），则实数m的值等于         ． 参考答案： 4 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；规律型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程即可求出m的值． 【解答】解：椭圆+=1的一个焦点坐标为（1，0）， 可得，解得m=4． 故答案为：4． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 15. 6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种. 参考答案： 240 16. “”是“”的          条件． （填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要） 参考答案： 必要不充分 17. 的单调递减区间为                   ； 参考答案： )() 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某企业员工共500人参加“学雷锋”志愿活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示． 区间 [25，30） [30，35） [35，40） [40，45） [45，50] 人数 50 50 a 150 b （1）表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值； （2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数； （3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率． 参考答案： 考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图． 专题：计算题；2015届高考数学专题；概率与统计． 分析：（I）由题设中频率分布直方图再结合频率、频数及样本容量之间的关系可得a、b的值； （II）根据估计平均数及估计中位数的求解公式即可求解； （III）根据分成抽样的定义知：第1，2，3组各部分的人数的比例为1：1：4，则共抽取6人时，所以第1，2，3组三个年龄段应分别抽取的人数为1，1，4，设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4，列出所有情况，根据古典概型运算公式计算即可． 解答： 解：（Ⅰ）由题设可知，a=0.08×5×500=200，b=0.02×5×500=50， （Ⅱ）根据频率分布直方图可得，平均年龄为=（ 27.5×0.02+32.5×0.02+37.5×0.08+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5， 估计中位数为：35+=35.75， （III）因为第1，2，3组共有50+50+200=300人， 利用分层抽样在300名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为： 第1组的人数为6×=1 第2组的人数为6×=1 第3组的人数为=4         设第1组的1位同学为A，第2组的1位同学为B，第3组的4位同学为C1，C2，C3，C4， 则从六位同学中抽两位同学有：（A，B），（A，C1），（A，C2），（A，C3），（A，C4），（B，C1），（B，C2），（B，C3），（B，C4），（C1，C2），（C1，C3），（C1，C4），（C2，C3），（C2，C4），（C3，C4），共15种可能． 其中2人年龄都不在第3组的有：（A，B），共1种可能， 所以至少有1人年龄在第3组的概率为1﹣． 点评：本题考查等可能事件的概率及分层抽样方法，考查对立事件的概率，在考虑问题时，若问题从正面考虑比较麻烦，可以从它的对立事件来考虑 19. 如图，正方形的边长为2. (1)在其四边或内部取点，且，求事件：“”的概率； (2)在其内部取点，且，求事件“的面积均大于”的概率. 参考答案： （1）（2）   略 20. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(其中t为参数）.现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为. （1）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； （2）若点P坐标为(－1,0)，直线l交曲线C于A,B两点，求的值. 参考答案： （1），；（2）. 【分析】 （1）根据参普互化和极值互化的公式得到标准方程；（2）联立直线和圆的方程，得到关于t的二次，再由韦达定理得到. 【详解】（1）由消去参数，得直线的普通方程为 又由得， 由得曲线的直角坐标方程为， 即； （2）其代入得， 则 所以. 21. (本小题满分12分）已知函数. (Ⅰ)当时，求的单调区间； （Ⅱ）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围. 参考答案： （Ⅰ） 当时， 当时，单增；当时，单减；当时，单增 （Ⅱ）即，而在上的最大值为， ∴即在上恒成立， ∵，∴，恒成立 令，则， ，∴即在上单调递增， ∴ 22. 如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA⊥平面ABCD （Ⅰ）求证：平面SAC⊥平面SBD； （Ⅱ）若∠DAB=120°，DS⊥BS，AB=2，求SO的长及点A到平面SBD的距离． 参考答案： 【考点】平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算． 【专题】计算题；规律型；转化思想；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）证明SA⊥BD．AC⊥BD，推出BD⊥面SAC，然后证明面SBD⊥面SAC． （Ⅱ）在菱形ABCD中，求出A0=AB=1，BO=AB=，求出SO=，连接SO，过A作AG⊥SO于G，说明AG是A到平面SBD的距离．然后求解A到平面SBD的距离． 【解答】（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为SA⊥面ABCD，BD?面ABCD， 所以SA⊥BD． 又因为ABCD是菱形，所以AC⊥BD， 又SA∩AC=A，所以BD⊥面SAC， 又BD?面SBD，面SBD⊥面SAC． （Ⅱ）解：在菱形ABCD中，∠DAB=120°，所以∠CAB=60°，A0=AB=1    BO=AB=，因为DS⊥BS，O是DB中点，SO=BD=． 连接SO，过A作AG⊥SO于G． 由（1）知面SBD⊥面SAC，且面SBD∩面SAC=SO，AG?面SAC， 所以AG⊥面SBD，即AG是A到平面SBD的距离． SA=，， ，即A到平面SBD的距离为． 【点评】本题考查平