河北省唐山市玉田县石臼窝中学2022年高三数学理联考试卷含解析

河北省唐山市玉田县石臼窝中学2022年高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知正项数列{an}中,=1,a2=2,2=+(n≥2),则a6等于(　　) (A)16   (B) 8 (C) 2 (D) 4 参考答案： D 略 2. 一个多面体的直观图和三视图如图所示，M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体内自由飞翔，由它飞入几何体内的概率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： D 因为VF－AMCD＝×SAMCD×DF＝a3，VADF－BCE＝a3，所以它飞入几何体F－AMCD内的概率为＝.选D 3. 下列语句中是算法的个数为                                        （    ）     ①从济南到巴黎：先从济南坐火车到北京，再坐飞机到巴黎；     ②统筹法中“烧水泡茶”的故事；     ③测量某棵树的高度，判断其是否是大树；     ④已知三角形的一部分边长和角，借助正余弦定理求得剩余的边角，再利用三角形的面积公式求出该三角形的面积。     A．1                B．2                C．3               D．4 参考答案： C 4. 设点是双曲线（，）上异于实轴端点上的任意一点，，分别是其左右焦点，为中心，，则此双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D．2 参考答案： C 5. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为 （ ） A．-3 Ｂ．-1 Ｃ．1 Ｄ．3 参考答案： D 6. “x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由x＜﹣1，知x2﹣1＞0，由x2﹣1＞0知x＜﹣1或x＞1．由此知“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 【解答】解：∵“x＜﹣1”?“x2﹣1＞0”， “x2﹣1＞0”?“x＜﹣1或x＞1”． ∴“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分而不必要条件． 故选A． 【点评】本题考查充分条件、必要条件和充要条件的应用． 7. 已知椭圆与双曲线的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和 为，那么椭圆的离心率等于  (    ) A．       B．        C．        D．[ 参考答案： B ，， 8. 已知命题“”，命题 “”，若命题为真命题，则实数的取值范围是（    ）     A．          B．            C．            D． 参考答案： C 9. 某几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是 A.   B.   C.     D. 参考答案： A 10. 若是和的等比中项，则圆锥曲线的离心率为（    ） A．     B．     C．或     D．或 参考答案： 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，，，，，，是的中点，当在轴上移动时，与满足的关系式为         ；点的轨迹的方程为         ． 参考答案：     (1).     (2). 由题意得 ,即 ； 设，则，所以 ，因为，所以 ，从而点的轨迹的方程为. 12. 已知}在上是增函数，方程}有实数解，设，且定义在R上的奇函数在内没有最小值，则的取值范围是       。 参考答案： 知识点：利用导数研究函数的单调性；奇函数． 解析 ：解：∵}在上是增函数，可得且，即，解得，故, ∵方程}有实数解，，所以可得 ∴,∵是定义在R上的奇函数, ∴可得,∴，又在内没有最小值 ∴， 若,函数在上是减函数,函数在右端点处取到最小值,不合题意. 若，令，则在D内没有最小值可转化为在内没有最大值，下面对在内的最大值进行研究： 由于，令，可解得，令，可解得，由此知，函数h（x）在是减函数，在上是增函数， 当时，即时，函数在上是减函数，不存在最大值,符合题意 当时，即时，函数在上是增函数，存在最大值，不符合题意 当时，即时，函数在是减函数，在上是增函数，必有成立，才能满足函数在上没有最大值，即有 ，解得，符合题意 综上讨论知，m的取值范围是，故答案为. 思路点拨：先确定出集合的范围，求出集合的范围．再根据在内没有最小值，对函数的最小值进行研究，可先求其导数，利用导数研究出函数的单调性，确定出函数的最小值在区间的左端点取到即可，由于直接研究有一定困难，可将函数变为，构造新函，将研究原来函数没有最小值的问题转化为新函数没有最大值的问题，利用导数工具易确定出新函数的最值，从而解出参数m的取值范围． 典型总结：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，三角函数的周期求法及对三角函数图象特征的理解，指数函数的值域及集合的运算．考查了转化的思想及分类讨论的思想，计算的能力，本题综合性强涉及到的知识点较多，属于综合题中的难题． 13. 已知函数 若，则_________． 参考答案： 或 若，由得，解得。若，由得，解得。所以或。 14. 我国古代数学家赵爽利用“勾股圈方图”巧妙的证明了勾股定理，成就了我国古代数学的骄傲，后人称之为“赵爽弦图”．他是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角记为θ，大正方形的面积为25，小正方形的面积为1，则=　　． 参考答案： 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值． 【分析】根据四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y．可得2xy+1=25，x2+y2=25，从而解得x，y的值，sinθ= 【解答】解：由题意，设直角三角形θ对应的边为x，另一边为y． 可得2xy+1=25，x2+y2=25， 解得x=3，y=4， 则sinθ==， ∵锐角记为θ， 那么：令=M＞0． 则1+sinθ=M2， ∴M2=， ∴M=，即= 故答案为：． 【点评】本题考查三角恒等变换及化简求值，半角公式的灵活运用，是中档题． 15. 在△中，所对边分别为、、．若，则        ． 参考答案： 16. 从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是           。 参考答案：    解析： 17. 已知函数，若x1,x2∈R，x1≠x2，使得f (x1)＝f (x2)成立，则实数a的取值范围是     ▲    ． 参考答案： (－∞,4) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数的图象经过点，且在处的切线与轴平行. （I）求和的值； 参考答案： （I）————————————————1分 ————————————————————————4分 （II）恒成立，即， 设——————————————5分 因为，（1）当时，，在上单调增， 当时，，当时，， 所以成立————————————————————8分   （1）当时，，， 所以时，，在上单调减，， 所以与矛盾，舍——————————11分 综上：————————————12分 略 19. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． （1）求B的大小； （2）若，，且△ABC的面积为，求a． 参考答案： （1）；（2）． （1）由，得， 所以，即， 所以有， 因为，所以，所以， 即，所以， 又，所以，所以，即． （2）因为，所以， 又， 所以，把代入到中，得． 20. (本小题满分12分)已知平面区域被圆C及其内部所覆盖． (1)当圆C的面积最小时，求圆C的方程； (2)若斜率为1的直线l与(1)中的圆C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程． 参考答案： 解：(1)由题意知此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)构成的三角形及其内部，且△OPQ是直角三角形， ∵覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∴圆心是(2,1)，半径是， ∴圆C的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝5.    …………6分 (2)设直线l的方程是：y＝x＋b.∵CA⊥CB，∴圆心C到直线l的距离是， 即＝.解之得，b＝－1±. ∴直线l的方程是：y＝x－1±.      …………12分 21. 如图所示，扇形AOB,圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P. （1）若C是半径OA的中点，求线段PC的长； （2）设,求面积的最大值及此时的值。 参考答案： 22. 已知椭圆C的方程是=（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点， 左焦点坐标为（﹣4，0），且过点p()． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由． 参考答案： 解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a2=b2+16， 即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴， 解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36， 所以，所求椭圆C的标准方程为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又，则得， 所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM， 而，所以PQ的斜率为， 因此，过P点引圆M的切线方程为：，即 令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0）， 所以，因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=． 考点：圆与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程． 专题：综合题． 分析：（Ⅰ）由题设知a2=b2+16，即椭圆的方程为，由点在椭圆上，知，由此能求出椭圆C的标准方程． （Ⅱ）由A（﹣6，0），F（4，0），，知，，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积． 解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为，（a＞b＞0），∴a2=b2+16， 即椭圆的方程为，∵点在椭圆上，∴， 解得b2=20或b2=﹣15（舍），由此得a2=36， 所以，所求椭圆C的标准方程为． （Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣6，0），F（4，0），又，则得， 所以，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（﹣1，0），则显然PQ⊥PM， 而，所以PQ的斜率为， 因此，过P点引圆M的切线方程为：，即 令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（﹣1，0）， 所以，因此，所求的图形面积是S=S△PQM﹣S扇形MPF=． 点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化