山东省济宁市大义中学高三数学理模拟试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. “≤k≤”是“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；其他不等式的解法．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；综合法；简易逻辑．
【分析】由图可求得“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的k的取值范围，结合充要条件的定义，可得答案．
【解答】解：关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx
即﹣x＞k，
设y=﹣x，
则y′=，
令y′=﹣的零点为a，则a∈（0，1），且
当x∈（0，a）时，y′＞0，y=﹣x为增函数，
当x∈（a，+∞）时，y′＞0，y=﹣x为减函数，
故函数y=﹣x的图象如下图所示：
要使﹣x＞k有且仅有2个正整数解，
则k∈[，），
即≤k＜”，
故“≤k≤”是“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，存在性问题，数形结合思想，其中求出“关于x的不等式lnx+x+1＞x2+kx有且仅有2个正整数解”的充要条件，难度较大．
2. 已知数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若则（ ）
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
参考答案：
B
3. 等差数列的前项和为若，则
A．66 B．99 C．110 D．198
参考答案：
B
4. 命题，则命题p的否定是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C
根据特称命题的否定是全称命题,可知选项C正确.
故选C.
5. 执行如图的程序框图，则输出的值等于( )
A．91 B． 55 C．54 D．30
参考答案：
B
6. 阅读如图所示的程序框图，则输出结果的值为
A. B. C. D.
参考答案：
D
7. 要得到函数的图象，只要将函数的图象( )
A. 向左平移1个单位 B. 向右平移1个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移个单位
参考答案：
C
略
8. 函数图象的两条相邻对称轴间的距离为 （ ）
A. B. C. D.
参考答案：
B
略
9. 已知等差数列的前项和为,且则过点和点的直线的一个方向向量的坐标可以是 （ ▲ ）
A.(2,) B.(,-2) C.( ,-1) D.(-1,-1)
参考答案：
B
略
10. 非零向量使得成立的一个充分非必要条件是
A . B.
C. D.
参考答案：
D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 双曲线的渐近线的夹角为 ．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案．
【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，
则其渐近线方程为：y=±x，
直线y=x的倾斜角为，直线y=﹣x的倾斜角为，
则其渐近线的夹角为，
故答案为：．
12. 实数x、y满足，则z=x2+y2+2x﹣2y的最小值为 ．
参考答案：
0
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域，
则z=x2+y2+2x﹣2y=z=（x+1）2+（y﹣1）2﹣2，
设m=（x+1）2+（y﹣1）2，则m的几何意义为区域内的点倒是定点D（﹣1，1）的距离的平方，
由图象知D到直线y=x的距离最小，
此时d=，则m=d2=2，
故z的最小值为z=2﹣2=0，
故答案为：0．
点评： 本题主要考查线性规划的应用以及点到直线的距离的求解，利用数形结合是解决本题的关键．
13. 若行列式则 ▲ ．
参考答案：
2
由得，即，所以。
14. 设，则______.
参考答案：
15. 各面均为等边三角形的四面体的外接球的表面积为，过棱作球的截面，则截面面积的最小值为 ．
参考答案：
16. 已知实数满足约束条件 ,若的最小值为3，实数= .
参考答案：
【答案解析】解析：实数满足约束条件表示的平面区域如图为阴影部分对应的区域，显然当动直线2x+y=0经过点B时目标函数得最小值3,联立方程 解得B点坐标为，所以.
.
【思路点拨】解简单的线性规划问题，一般先作出其可行域，再数形结合找其最优解，即可解答.
17. 若命题:∈R，－2ax＋a≤0”为假命题，则的最小值是__________．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图,已知为圆的直径，为垂直的一条弦，垂足为，
弦交于.
（I）求证：四点共圆；
（II）若，求线段的长．
参考答案：
（I）如图，连结，由为圆的直径可知
又，所以
因此四点共圆………………………………4分
（II）连结，由四点共圆得
又，所以因为在中，所以.………………………………10分
19. （1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域.
参考答案：
（1）的定义域为
，
当且仅当时，，
所以在单调递增.
（2），
由（1）知，单调递增，
对任意，，，
因此，存在唯一，使得，即，
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因此在处取得最小值，最小值为
.
于是，由，知单调递增
所以，由，得.
因为单调递增，对任意，存在唯一的，，
使得，所以的值域是，
综上，当时，有最小值，的值域是.
20. 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.
参考答案：
（1）；（2）2．
试题分析：（1）先把参数方程化为普通方程，然后利用公式化直角坐标方程为极坐标方程；（2）把分别代入圆和直线的极坐标方程可求得的极坐标，由于它们都在过极点的直线上，因此其极径之差为它们间的距离．
考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线的极坐标方程．
21. 已知向量p＝(sin x，cos x)，q＝(cos x，cos x)，定义函数f(x)＝p·q.
(1)求f(x)的最小正周期T；(2)若△ABC的三边长a，b，c成等比数列，且，求边a所对角A以及f(A)的大小.
参考答案：
解：(1)f(x)＝p·q＝(sin x，cos x)·(cos x，cos x)＝sin xcos x＋cos2x2分
＝sin 2x＋·＝sin 2x＋cos 2x＋＝sin(2x＋)＋.
∴f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，又c2＋ac－a2＝bc.
∴cos A＝＝＝＝.又∵0
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