湖北省荆门市钟祥第六中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

湖北省荆门市钟祥第六中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知实数满足关系：，记满足上述关系的的集合为，则函数的最小值为（    ） A．   B．   C．    D． 参考答案： 考点：1.导数的应用；2.基本不等式的应用. 【方法点睛】本题主要考察了导数与基本不等式的综合应用，属于中档题型，第一个要解决的是函数的定义域，所以根据基本不等式，得到函数的定义域，根据导数求函数的最值，涉及了二次求导的问题，一次求导后，不易得到函数的单调性，所以需要二次求导，得到一次导的最小值，再判断函数的单调性,最后求最值. 2. 已知全集U＝R，集合M＝{x|3x2－13x－10＜0}和N＝{x|x＝2k，k∈Z}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A．1个    B．2个    C．3个    D．无穷个 参考答案： C 3. 对于定义域为的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”．现给出如下函数： ①；②；③ ；④. 其中为“敛1函数”的有 （　　　）A．①②       B．③④      C． ②③④       D．①②③ 参考答案： C 4. 设等差数列的前项和为且满足则  中最   大的项为(    )       A．          B．         C．          D． 参考答案： C 略 5. 已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是 A.4              B.2              C.8               D.1 参考答案： A 略 6. 设函数f（x）=log2x，在区间（0，5）上随机取一个数x，则f（x）＜2的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】几何概型． 【分析】解不等式f（x）＜2的解，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 【解答】解：∵log2x，x∈（0，5）． ∴由f（x）＜2， 得log2x＜2 解得0＜x＜4， ∴根据几何概型的概率公式可得若从区间（0，5）内随机选取一个实数x， f（x）＜2的概率为： =， 故选D． 7. 设函数，若的图象与图象有且仅有两个不同的公共点,则下列判断正确的是 A.当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 参考答案： B 在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当时，要想满足条件，则有如图，做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为，由图象知即，同理当时，则有，故答案选B. 另法：，则方程与同解，故其有且仅有两个不同零点.由得或.这样，必须且只须或，因为，故必有由此得.不妨设，则.所以，比较系数得，故.，由此知，故答案为B. 8. 设为定义在上的奇函数，且时，，则函数在上的零点个数为( ▲ ) A.           B.           C.           D. 参考答案： D 略 9. 已知向量=（1，2），=（﹣2，m），若∥，则|2+3|等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】平面向量数量积的运算． 【专题】计算题；平面向量及应用． 【分析】根据∥，算出=（﹣2，﹣4），从而得出=（﹣4，﹣8），最后根据向量模的计算公式，可算出的值． 【解答】解：∵且∥， ∴1×m=2×（﹣2），可得m=﹣4 由此可得， ∴2+3=（﹣4，﹣8），得==4 故选：B 【点评】本题给出向量、的坐标，求向量的模，着重考查了平面向量平行的充要条件和向量模的公式等知识点，属于基础题． 10. 已知是的重心，过点作直线与，交于点，且，，，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣ex]=e+1，则f（ln2）的值为　　． 参考答案： 3 考点： 函数单调性的性质． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用换元法 将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论． 解答： 解：设t=f（x）﹣ex， 则f（x）=ex+t，则条件等价为f（t）=e+1， 令x=t，则f（t）=et+t=e+1， ∵函数f（x）为单调递增函数， ∴函数为一对一函数，解得t=1， ∴f（x）=ex+1， 即f（ln2）=eln2+1=2+1=3， 故答案为：3 点评： 本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键． 12. 若f（x）=xa是幂函数，且满足=3，则f（）=　　． 参考答案： 【考点】幂函数的单调性、奇偶性及其应用． 【分析】可设f（x）=xα，由=3可求得α，从而可求得f（）的值． 【解答】解析：设f（x）=xα，则有=3，解得2α=3，α=log23， ∴f（）= = = = =． 故答案为： 13. 已知的定义域为是奇函数且是减函数，若，那么实数的取值范围是         。   参考答案： 略 14. 某班有50名学生，其中15人选修A课程，另外15人选修B课程，其它人不选任何课程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为__________。 参考答案： 15.   A．（不等式选做题）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是__________。   参考答案： 本题考查了绝对值不等式的求解以及转化能力，难度中等。 根据绝对值的几何意义可知，要使不等式恒成立，只需 16. 若不等式4x－2x＋1－a≥0在x∈[－1，1]上恒成立，则实数a的取值范围为          ． 参考答案： (－∞，－1] 17. 底面半径都是且高都是的圆锥和圆柱的全面积之比为    ▲    ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设数列{an}的各项均为正数，它的前n项的和为Sn，点（an，Sn）在函数y=x2+x+的图象上；数列{bn}满足b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn．其中n∈N*． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设cn=，求证：数列{cn}的前n项的和Tn＞（n∈N*）． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】（Ⅰ）根据数列项和前n项和之间的关系即可求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）求出cn=是表达式，利用错位相减法求出数列{cn}的前n项的和，即可得到结论． 【解答】解：（1）∵点（an，Sn）在函数y=x2+x+的图象上， ∴，① 当n≥2时，，② ①﹣②得：， 即， ∵数列{an}的各项均为正数， ∴an﹣an﹣1=4（n≥2）， 又a1=2，∴an=4n﹣2； ∵b1=a1，bn+1（an+1﹣an）=bn， ∴，∴； （2）∵， ∴， 4Tn=4+3?42+5?43+…+（2n﹣3）?4n﹣1+（2n﹣1）?4n， 两式相减得， ∴． 【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列求和，要求数列掌握错位相减法进行数列求和． 19. （本小题满分13分） 在平面直角坐标系上取两点,再取两个动点  ,且. (1)求直线与交点的轨迹的方程； (2)过点作两条互相垂直的射线，与曲线分别交于两点.证明点到直线的距离为定值.并求弦长度的最小值. 参考答案： 解：（1）依题意知直线的方程为：     ① ……………1分 直线的方程为：                       ②  ……………2分 设是直线与直线的交点，①×②得： ③……3分 将代入③整理得                            ………………4分 不与原点重合 点不在轨迹上  轨迹的方程为   ……………5分 (2) 设，若直线AB的方程为        …………………7分 与椭圆联立消去并化简得    由根与系数的关系得：    ………………………8分 即： 整理得 所以O到直线AB的距离:    若直线AB的方程为,易得O到直线AB的距离也为 故, 点到直线的距离为定值.……………10分 ， 当且仅当时取“=”号。 由直角三角形面积公式得:                                        …………………12分 即：当OA=OB时，弦AB的长度的最小值是 ………………13分 略 20. 已知点 (1,2)是函数的图象上一点，数列{an}的前n项和 （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若， ① 求数列{an+bn}的前n项和； ② 设数列的前n项和为，求证：. 参考答案： （Ⅰ）把点代入函数得………………2分 所以数列的前n项和为 当时，； 当时，， 对时也适合，∴.………………5分 （Ⅱ）①由a＝2，，可得………………7分 ∴数列{bn}是以1为首项，4为公差的等差数列， 故 ………………9分 ②＝ ＝ ………………11分 法1：易知单调递增，故，又 所以.………………14分 法2：不等式运算 ，，……14分 21. 设函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时， ①求函数在上的最大值和最小值； ②若存在，，…，，使得成立，求的最大值. 参考答案： （1）见解析（2）①，② 【分析】 （1）确定函数的定义域然后求导数，对参数的取值范围进行讨论，即可确定函数的单调区间； （2）①当时，由（1）可得函数在上的单调性，即可确定函数的最大值与最小值； ②由①可得时，，即，取，即可满足题意，得到最大值为6。 【详解】解：（1）， 故当时，，所以函数在上单调递增；            当时，令，得，所以函数在上单调递增； 令，得，所以函数在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减            （2）①当时，由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增.故， 又因为，， 故.                                                    ②由于，， 故. 由于时，， 取， 则， 故的最大值为6. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调性以及最值的问题，对于含参数问题，定义域以及对参数的分类讨论是解题的关键，属于较难题。 22. （10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC） （1）求角A的值； （2）求f（x）=sin2xcosA+cos2xsinA，x∈[0，π]的最值及单调递减区间． 参考答案： （1）（2）f（x）的单调递减区间为 （1）由题意，（sinB+sinA）（b﹣a）=c（sinB﹣sinC） ∴（b+a）（b﹣a）=c（b﹣c） ∴b2+c2﹣a2=bc，∴ ∵A∈（0，π），∴ （2） ∵x∈[0，π]，∴ 从而当，即时，f（x）max=1 由得，从而f（x）的单调递减区间为