2022年湖南省长沙市油麻田中学高一数学理模拟试题含解析

2022年湖南省长沙市油麻田中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈（﹣∞，0）（x1≠x2），都有＜0．则下列结论正确的是（　　） A．f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25） B．f（log25）＜f（20.3）＜f（0.32） C．f（log25）＜f（0.32）＜f（20.3） D．f（0.32）＜f（log25）＜f（20.3） 参考答案： A 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】由对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0，可知f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，又由f（x）是R上的偶函数可得f（x）在（0，+∞）上是增函数，从而可得结论． 【解答】解：∵对任意x1，x2∈（﹣∞，0），且x1≠x2，都有＜0， ∴f（x）在（﹣∞，0）上是减函数， 又∵f（x）是R上的偶函数，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∵0.32＜20.3＜log25 ∴f（0.32）＜f（20.3）＜f（log25）． 故选：A． 2. 下列函数是偶函数的是  (     ) A.      B.      C.    D. 参考答案： A 略 3. 下列函数中，不是周期函数的是     (　　) A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|    C．y＝|cos x|  D．y＝cos|x| 参考答案： B 略 4. 袋中有9个大小相同的小球，其中4个白球，3个红球，2个黑球，现在从中任意取一个，则取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为（    ） A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】从袋中9个球中任取一个球，取出的球恰好是一个红色或黑色小球的基本事件数为5，因此，取出的球恰好是红色或者黑色小球的概率为，故选：D. 【点睛】本题考查古典概型概率的计算，解题时要确定出全部基本事件数和所求事件所包含的基本事件数，并利用古典概型的概率公式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 5. 设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 6. 已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则＝(　　) A.              B．－           C.              D.或－ 参考答案： C 7. 集合,,那么(    ) A.     B.    C.       D. 参考答案： A 8. 定义在R上的函数满足，且当时，，则等于（  ▲  ）．    A．               B．               C．                D． 参考答案： C 9. 在△ABC中，已知，则三角形△ABC的形状一定是 A．等腰三角形   B．直角三角形      C．等边三角形   D．等腰直角三角形 参考答案： A 10. 若奇函数在上为增函数，且有最小值0，则它在上    A.是减函数，有最小值0          B.是增函数，有最小值0    C.是减函数，有最大值0          D.是增函数，有最大值0 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知在中,分别为角A，B，C对应的边长．若则     . 参考答案：   12. 已知幂函数的图象过点，则              . 参考答案： 13. 已知三棱锥P-ABC，PA⊥平面ABC，，，，则三棱锥P-ABC的侧面积__________． 参考答案： 【分析】 根据题意将三棱锥放入对应长方体中，计算各个面的面积相加得到答案. 【详解】三棱锥P-ABC，平面，，， 画出图像： 易知：每个面都是直角三角形. 【点睛】本题考查了三棱锥的侧面积，将三棱锥放入对应的长方体是解题的关键. 14. 已知是奇函数,且.若,则_______ . 参考答案： 略 15. 若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是　　． 参考答案： （0，1） 【考点】指、对数不等式的解法；其他不等式的解法． 【分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可． 【解答】解：f（x）=﹣，若满足f（x）＜0， 即＜， ∴， ∵y=是增函数， ∴的解集为：（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力． 16. 若=，=，则         . 参考答案： (-3,-2) 17. 已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）=           . 参考答案： 【分析】 由题求得θ的范围，结合已知求得cos（θ），再由诱导公式求得sin（）及cos（），进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得tan（θ）的值． 【详解】解：∵θ是第四象限角， ∴，则， 又sin（θ）， ∴cos（θ）． ∴cos（）＝sin（θ），sin（）＝cos（θ）． 则tan（θ）＝﹣tan（）． 故答案为：． 【点睛】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知f（x）=（logmx）2+2logmx﹣3（m＞0，且m≠1）． （Ⅰ）当m=2时，解不等式f（x）＜0； （Ⅱ）f（x）＜0在[2，4]恒成立，求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题． 【分析】（Ⅰ）当m=2时，可得（log2x）2+2log2x﹣3＜0，即为﹣3＜log2x＜1，由对数函数的单调性，可得不等式的解集； （Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立，得﹣3＜logmx＜1在[2，4]恒成立，讨论m＞1，0＜m＜1，解出x的范围，再由恒成立思想，可得m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当m=2时，f（x）＜0， 可得（log2x）2+2log2x﹣3＜0， 即为﹣3＜log2x＜1， 解得＜x＜2， 故原不等式的解集为{x|＜x＜2}； （Ⅱ）由f（x）＜0在[2，4]恒成立， 得﹣3＜logmx＜1在[2，4]恒成立， ①当m＞1时，解得m﹣3＜x＜m， 即有m﹣3＜2且4＜m， 解得m＞4； ②当0＜m＜1时，解得m＜x＜m﹣3， 即有m﹣3＞4且m＜2， 解得0＜m＜． 故实数m的取值范围是（0，）∪（4，+∞）． 19. (本小题满分12分) 已知函数． （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）若函数在区间与上各有一个零点，求的取值范围． 参考答案： 解（1）函数有两个零点，即方程有两个不等实根，             令，即，解得；又，             所以的取值范围为，        （2)若函数在区间与上各有一个零点，由的图像可知，只需                ，  即，解得。 略 20. （本小题满分14分） 过点的直线与轴、轴正半轴交于两点，求满足下列条件的直线的方程，为坐标原点，（1）面积最小时；（2）最小时；（3）最小时. 参考答案： 解一：由题意，设，直线方程为.又直线过点 ，得 （1） 当面积最小时，即最小, 得 当且仅当即时取等号，此时直线的方程为 ，即 （2） 当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为 ，即. （3） 当且仅当，即时取等号， 此时直线的方程为 ，即. 解二：设直线的倾斜角为（），则 （1） 当且仅当，即（舍去！）时取等号， 此时直线 的方程为，即. （2） 当且仅当，即（舍去！）时取等号， 此时直线 的方程为，即. （3） 当且仅当，即时取等号， 此时直线 的方程为，即. 21. 计算： （1）； （2）（lg 5）2+lg 2?lg 50． 参考答案： 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值． 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出． （2）利用对数的运算性质及其lg2+lg5=1即可得出． 【解答】解：（1）原式=． （2）原式=（lg 5）2+lg 2?（lg 2+2lg 5） =（lg 5）2+2lg 5?lg 2+（lg 2）2 =（lg 5+lg 2）2=1． 22. 求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的关于a的充要条件． 参考答案： 解：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，解得x＝－，符合题目要求； 当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程， 它有实根的充要条件为：Δ＝4－4a≥0，解得a≤1. 设方程ax2＋2x＋1＝0的两实根为x1，x2，则 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1·x2＝. ①方程ax2＋2x＋1＝0恰有一个负实根的充要条件是 ，解得a＜0； ②方程ax2＋2x＋1＝0有两个负实根的充要条件是 ，解得0＜a≤1. 综上所述，a≤1为所求．