广东省茂名市高州长坡中学高三数学文上学期期末试题含解析

广东省茂名市高州长坡中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合，，且，那么的值可以是（　） A．          B．         C．          D． 参考答案： D 略 2. 已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则=（    ）   A．            B．            C．           D． 参考答案： 【知识点】平面向量数量积的运算．F3  【答案解析】B  解析：向量，， ∵===3． ===． =+﹣9=9+2﹣9×=8． ∴cosβ===． 故选：B． 【思路点拨】利用数量积的运算性质即可得出． 3. 已知不等式组，表示的平面区域为D，点O（0，0）、A（1，0），若M是D上的动点，则向量在向量方向上的投影的最小值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，设向量与向量的夹角为θ，求得向量在向量方向上的投影z=．数形结合求出cosθ的最小值得答案． 【解答】解：设M（x，y），则， 再设向量与向量的夹角为θ， 则向量在向量方向上的投影z=． 由约束条件作出可行域如图， 联立，解得B（1，3）， ∴cosθ的最小值为． ∴向量在向量方向上的投影z=的最小值为1×． 故选：C． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 4. 若函数满足，且时，，函数，则函数在区间内的零点的个数为       （     ）     A．8                B．9                C．10               D．13 参考答案： B 略 5. 已知函数的定义域为R，且在R上恒有，若，则不等式的解集为（   ） A．(2,+∞)        B．(－∞,2)　　　　　　C．(1,+∞)              D．(－∞,1) 参考答案： C 6. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为（    ） A.       B.        C.           D. 参考答案： B 略 7. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“一楔体，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何？”“术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一.”(译文：算法：下底长乘以2，再加上上棱长，它们之和用下底宽乘，再乘以高，除以6).现有一楔体，其三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为(    ) A.5 B.10 C. D. 参考答案： B 8. 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　） A．A=N*，B=N B．A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10} C．A={x|0＜x＜1}，B=R D．A=Z，B=Q 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案． 【解答】解：对于A=N*，B=N，存在函数f（x）=x﹣1，x∈N*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项A是“保序同构”； 对于A={x|﹣1≤x≤3}，B={x|x=﹣8或0＜x≤10}，存在函数，满足： （i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项B是“保序同构”； 对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f（x）=tan（），满足：（i）B={f（x）|x∈A}； （ii）对任意 x1，x2∈A，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），所以选项C是“保序同构”； 前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D． 故选D． 【点评】本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题． 9. 为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把函数y=sin2x的图象上所有的点（　　） A．向左平行移动个长度单位 B．向右平行移动个长度单位 C．向左平行移动1个长度单位 D．向右平行移动1个长度单位 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】根据三角函数解析式之间的关系即可得到结论． 【解答】解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+）， ∴将函数y=sin2x图象向左平移单位，即可， 故选：A． 10. 已知正方形ABCD的边长是a，依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形，由此规律，依次得到一系列的正方形，如图所示．现有一只小虫从A点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段．设这10条线段的长度之和是S10，则 A． B．     C． D． 参考答案： C 所以，选C.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知随机变量满足正态分布，且P，P，则P()=__________         ． 参考答案： 【知识点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．I3 0.1   解析：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2）， ∴曲线关于x=1对称， ∵P（ξ＜2）=0.6， ∴P（0＜ξ＜1）=0.6﹣0.5=0.1， 故答案为0.1. 【思路点拨】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），得到曲线关于x=1对称，根据曲线的对称性得到P（0＜ξ＜1）． 12. 若一个棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球的球面上，则此球的表面积为　　． 参考答案： 12π 【考点】球的体积和表面积． 【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可． 【解答】解：设正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2，就是球的直径， ∴球的表面积为：S2=4π（）2=12π． 故答案为：12π． 【点评】本题考查球的体积表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题． 13. 已知中，角、、的对边分别为、、，且，，，则          ． 参考答案： 14. 若函数的单调递增区间是，则=________。 参考答案： 15. 设抛物线的焦点为F，准线为, P为抛物线上一点，PA⊥ ,A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60°，那么|PF|=__________. 参考答案： 16. 函数在区间上是减函数,则的最大值为________． 参考答案： 略 17. 若向量，满足，，且，则与的夹角为        . 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c=2，且asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB． （Ⅰ）求角C的值； （Ⅱ）若c+bcosA=a（4cosA+cosB），求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理；HT：三角形中的几何计算． 【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB， 再利用余弦定理求出cosC，即可求出C的值； （Ⅱ）利用正弦定理化简c+bcosA=a（4cosA+cosB）， 再利用三角恒等变换得出sinBcosA=2sinAcosA； 讨论A=和A≠时，求出a、b的值，计算△ABC的面积． 【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，asinA﹣csinC=（a﹣b）sinB， ∴a2﹣c2=（a﹣b）b， ∴a2+b2﹣c2=ab， cosC===； 又C∈（0，π）， ∴C=； （Ⅱ）△ABC中，c+bcosA=a（4cosA+cosB）， ∴sinC+sinBcosA=sinA（4cosA+cosB）， ∴sin（A+B）+sinBcosA=4sinAcosA+sinAcosB， ∴2sinBcosA=4sinAcosA； 又A∈（0，π）， ∴A=时，cosA=0， ∵c=2，∴b=2， ∴S△ABC=bc=2； A≠时，cosA≠0， ∴sinB=2sinA，∴b=2a； ∵c=2， ∴c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+4a2﹣2?a?2a?=3a2=12， 解得a=2， ∴b=2a=4； ∴S△ABC=absinC=×2×4×=2； 综上，△ABC的面积为2． 19. （本小题满分13分）现有6名学科竞赛优胜者，其中数学学科是，，物理学科是B，化学学科是C，语文学科是，从竞优胜者中选出3名组成一个代表队，要求每个学科至多选出1名． (I)求被选中的概率； (II)求代表队中没有数学优胜者的概率； (Ⅲ)求和不全波选中的概率． 参考答案： 20. （本小题满分13分） 已知函数（）. （1）求函数的单调区间； （2）对,不等式恒成立，求的取值范围． 参考答案： 解：（1） …………………2分 当时， 0 - 0 + 递增 极大 递减 极小 递增 所以，在和上单调递增；在上单调递减。 当时，，在上单调递增。 当时， + 0 - 0 + 递增 极大 递减 极小 递增 所以，在和上单调递增；在上单调递减。……………8分 （2）法一、因为， 所以由得， 即函数对恒成立 由（Ⅰ）可知， 当时，在单调递增，则，成立，故<。 当，则在上单调递增，恒成立，符合要求。 当，在上单调递减，上单调递增，则， 即，。 综上所述，。                               ……………13分 法二、当时，； 当时，由得，对恒成立。 设，则 由，得或 - 0 + 递减 极小 递增 ，所以，，。  ………………………13分 21. 写出用二分法求方程x3－x－1=0在区间［1，1.5］上的一个解的算法（误差不超过0.001），并画出相应的程序框图及程序. 参考答案： 用二分法求方程的近似值一般取区间［a，b］具有以下特征： f（a）＜0，f（b）＞0. 由于f（1）=13－1－1=－1＜0， f（1.5）=1.53－1.5－1=0.875＞0， 所以取［1，1.5］中点=1.25研究，以下同求x2－2=0的根的方法. 相应的程序框图是： 程序：a=1 b=1.5 c=0.001 DO x=（a+b）2 f（a）=a∧3－a－1 f（x）=x∧3－x－1 IF  f（x）=0  THEN PRINT  “x=”；x ELSE IF  f（a）*f（x）＜0  THEN b=x ELSE a=x END  IF END  IF LOOP  UNTI