2022-2023学年上海市实验性示范性中学高三数学理联考试题含解析

2022-2023学年上海市实验性示范性中学高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 右图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（   ）   A．      B．   C．      D． 参考答案： B 略 2. 设函数定义在实数集上，它的图象关于直线1对称，且当x1时，，则有                                    （      ） A．           B． C．           D． 参考答案： B 3. 已知双曲线的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为(　　)． A．－2  B．  C．1  D．0 参考答案： A 略 4. 已知点满足条件，点，则的最大值为（   ） A．             B．            C．           D． 参考答案： D 略 5. 设，若函数，有大于零的极值点，则（   ） A．     B．     C．    D． 参考答案： B 6. 已知函数是定义在R上的奇函数，，当时，有成立，则不等式 的解集是 A．B． C．D． 参考答案： A 7. 在平面直角坐标系xOy中，已知四边形 ABCD是平行四边形， =（1，﹣2），=（2，1）则?=（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求 【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得， ==（3，﹣1）． ∴=3×2+（﹣1）×1=5． 故选：A． 8. 已知某几何体的正视图和侧视图均是边长为１的正方形，则这个几何体的体积不可能是 A.           B.           C.           D. 参考答案： D 略 9. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，则公比q=（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： B 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，两式相减得3a3=a4﹣a3，由此能求出公比q=4． 【解答】解：∵Sn为等比数列{an}的前n项和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2， 两式相减得 3a3=a4﹣a3， a4=4a3， ∴公比q=4． 故选：B． 10. 已知为执行如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中常数项的系数是（） A．-20         B．20       C.         D．60 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点（1，0）且与直线x﹣y+3=0平行的直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12所截得的弦长为　　． 参考答案： 6 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】先求与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程，再求圆心到直线l的距离，进而可求直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长． 【解答】解：设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0 ∵直线过点（1，0） ∴c=﹣1 ∴圆心到直线l的距离为=， ∴直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长为2=6 故答案为6． 12. 已知，, 则 _______． 参考答案： 13. 设双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界） 为D，点P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z=x-2y的最小值为______． 参考答案： 14. 某几何体的三视图如图所示,主视图和左视图是长为3，宽为2的矩形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的体积为_________． 参考答案： 8 略 15. (05年全国卷Ⅱ)下面是关于三棱锥的四个命题： ①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥． ④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）   参考答案： 答案：①④ 16. 两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为 . 参考答案： 或 17. 已知命题,则是            参考答案： 特称命题的否定为全称命题：. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）已知向量，，对任意都有. （1）求的最小值； （2）求正整数,使 参考答案： (1)设=（xn,yn）,由=+得  ∴{xn}、{yn}都是公差为1的等差数列……………………….3分 ∵=（1，－7）∴xn=n,yn=n－8, =(n,n－8) ||的最小值为4…………………………………………..6分 （2）由（1）可设=（m,m－8）    =(n,n－8) 由已知得：·=0 mn+(m－8)(n－8)=0 (m－4)(n－4)= －16……………………………………..8分 ∵m,n∈N+ ∴或    ……………………..12分 19. （12分）在“自选专题”考试中，某考场的每位同学都从《不等式选讲》和《极坐标系与参数方程》两专题中只选了一道数学题，第一小组选《不等式选讲》的有1人，选《极坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《不等式选讲》的有2人，选《极坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况。 （I）求选出的4人均为选《极坐标系与参数方程》的概率； （Ⅱ）设为选出的4个人中选《不等式选讲》的人数，求的分布列和数学期望。 参考答案： 解析：（I）设“从第一小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均考《极坐标系与参数方程》”为事件B，由于事件A、B相互独立， 且 所以选出的4人均考《极坐标系与参数方程》的概率为 （Ⅱ）设可能的取值为0，1，2，3，得 的分布列为 0 1 2 3   的数学期望 20. （本题满分14分）已知抛物线，过点的直线与抛物线交于两点，且直线与轴交于点 (1)求证：成等比数列； (2)设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 参考答案： (1)证明：设直线的方程为：， 联立方程可得得① 设，，，则，② ， 而，∴， 即成等比数列． (2)由，得 ，， 即得：，则 由(1)中②代入得，故为定值且定值为－1. 21. 中心在原点，焦点在轴上的椭圆的焦距为2，两准线间的距离为10. 设过点作直线交椭圆于两点，过点作轴的垂线交椭圆于另一点 （1）求椭圆的方程; （2）求证直线过轴上一定点 （3）若过点作直线与椭圆只有一个公共点求过两点，且以为切线的圆的方程. 参考答案： 【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题    H8 【答案解析】(1) (2) B(1，0). (3) 解析：解（1）设椭圆的标准方程为 依题意得： 所以，椭圆的标准方程为 （2）设，，AP=tAQ，则.   结合，得. 设B(x，0)，则，，所以，直线过轴上一定点B(1，0). （3）设过点的直线方程为：代入椭圆方程 得： . 依题意得：即得：    且方程的根为. 当点位于轴上方时，过点与垂直的直线与轴交于点,直线的方程是：    . 所求的圆即为以线段为直径的圆，方程为： 同理可得：当点位于轴下方时，圆的方程为： 【思路点拨】（1）依题意得：2c=2，=10，求出a，c，b，由此能求出椭圆的标准方程． （2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），=t，证明=t，即可得出结论． （3）设过点A的直线方程为：y=k（x﹣5），代入椭圆方程得（4+5k2）x2﹣50k2x+125k2﹣20=0．依题意得：△=（50k2）2﹣4（4+50k2）（125k2﹣20）=0，由此能求出过B，D两点，且以AD为切线的圆的方程 22. 如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）． （1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离； （2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.（12分） 参考答案： （I）当时，     又抛物线的准线方程为     由抛物线定义得，所求距离为 （2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为     由，     相减得,故     同理可得,由PA，PB倾斜角互补知     即,所以, 故     设直线AB的斜率为,由，,相减得     所以, 将代入得     ，所以是非零常数.