广西壮族自治区防城港市第四中学高二数学理月考试题含解析

广西壮族自治区防城港市第四中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（　　） A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： D 【考点】圆锥曲线的共同特征；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质． 【分析】由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，根据以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，可得（2，2）在椭圆C： +=1．利用，即可求得椭圆方程． 【解答】解：由题意，双曲线x2﹣y2=1的渐近线方程为y=±x ∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4， ∴（2，2）在椭圆C： +=1（a＞b＞0）上 ∴ 又∵ ∴ ∴a2=4b2 ∴a2=20，b2=5 ∴椭圆方程为： +=1 故选D． 2. 过点与直线垂直的直线的方程为（     ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 3. 设离散型随机变量X的概率分布列如下表： 则p等于(　　) 参考答案： D 略 4. 已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题： ①对于任意，函数是上的减函数； ②对于任意，函数存在最小值； ③存在，使得对于任意的，都有成立； ④存在，使得函数有两个零点． 其中正确命题的序号是                                              (　　)． A．①②                                        B．②③ C．②④                                        D．③④ 参考答案： C 5. 已知f′（x）是函数f（x），（x∈R）的导数，满足f′（x）=﹣f（x），且f（0）=2，设函数g（x）=f（x）﹣lnf3（x）的一个零点为x0，则以下正确的是（　　） A．x0∈（﹣4，﹣3） B．x0∈（﹣3，﹣2） C．x0∈（﹣2，﹣1） D．x0∈（﹣1，0） 参考答案： D 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】求出f（x）的表达式，得到g（x）的表达式，设h（x）=f（x）﹣g（x），求出h（0）和h（﹣1）的值，从而求出x0的范围． 【解答】解：设f（x）=ke﹣x， 则f（x）满足f′（x）=﹣f（x）， 而f（0）=2，∴k=2， ∴f（x）=2e﹣x， ∴g（x）=3lnf（x）=3（﹣x+ln2）=﹣3x+3ln2， 设h（x）=f（x）﹣g（x）， 则h（x）=2e﹣x+3x﹣3ln2， ∴h（0）=2﹣3ln2＜0，h（﹣1）=2e﹣3﹣3ln2＞0， 即在（﹣1，0）上存在零点， 故选：D． 6. 已知f（x）=3x+1（x∈3x+1（x∈R），若|f（x）﹣4|＜a的充分条件是|x﹣1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（　　） A．a B． C． D． 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】由题意的|f（x）﹣4|=|3x﹣3|＜a，即原不等式等价于|x﹣1|＜．根据题意可得|x﹣1|＜的充分条件是|x﹣1|＜b，即|x﹣1|＜b?|x﹣1|＜，进而可得到答案． 【解答】解：因为f（x）=3x+1（x∈R）， 所以|f（x）﹣4|=|3x﹣3|＜a，即原不等式等价于|x﹣1|＜． 又因为|f（x）﹣4|＜a的充分条件是|x﹣1|＜b， 所以|x﹣1|＜的充分条件是|x﹣1|＜b． 即|x﹣1|＜b?|x﹣1|＜ 所以． 故选B． 7. 已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且f（﹣1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f A．1 B．0 C．﹣2 D．2 参考答案： C 【考点】函数奇偶性的性质． 【分析】本题通过赋值法对f（2﹣x）=f（x）中的x进行赋值为2+x，可得﹣f（x）=f（2+x），可得到函数f（x）的周期为4，根据奇函数的性质得到f（0）=0，再通过赋值法得到f（1），f（2），f（3），f（4）的值，即可求解． 【解答】解：∵f（2﹣x）=f（x），∴f[2﹣（2+x）]=f（2+x），即f（﹣x）=f（2+x），即﹣f（x）=f（2+x）， ∴f（x+4）=f（4+x），故函数f（x）的周期为4． ∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（2﹣x）﹣f（x）=0，且f（﹣1）=2， ∴f（0）=0，f（1）=﹣f（﹣1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=2，f（4）=f（0）=0， ∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f+f（2）+f（3）+f（4）]+f+f（1）=0+（﹣2）=﹣2， 故选：C． 8. 执行如图所示的程序框图，输出．那么判断框内应填（　　） A．k≤2015 B．k≤2016 C．k≥2015 D．k≥2016 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，根据程序的功能进行求解即可． 【解答】解：本程序的功能是计算S=++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣， 由1﹣=，得=， 即k+1=2016，即k=2015， 即k=2016不成立，k=2015成立， 故断框内可填入的条件k≤2015， 故选：A． 9. 双曲线﹣=1的焦距的最小值为（　　） A． B．2 C．5 D．10 参考答案： B 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】由题意，2c=2，即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值． 【解答】解：由题意，2c=2， ∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2， 故选B． 　 10. 已知△ABC满足：，，则BC的长是（　　） A．2 B．1 C．1或2 D．3 参考答案： C 【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．  【专题】计算题． 【分析】利用余弦定理公式，根据题设中的条件建立等式整理后求得BC的值． 【解答】解：由余弦定理可知cosB==， 整理得BC2﹣3BC+2=0，求得BC=1或2， 故选C． 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若等边的边长为，平面内一点满足，  则_________ 参考答案： 2 12. 如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为7，BD1与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于　　． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角． 【分析】根据正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD，判断∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高． 【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱D1D⊥底面ABCD， ∴∠D1BD为直线BD1与底面ABCD所成的角， ∴tan∠D1BD=， ∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3， ∴BD=7， ∴正四棱柱的高=7=， 故答案为： 13. 若抛物线的焦点在直线x﹣2y﹣4=0上，则此抛物线的标准方程是　      　． 参考答案： y2=16x或x2=﹣8y   【考点】抛物线的标准方程． 【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案． 【解答】解：当焦点在x轴上时，根据y=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（4，0） ∴抛物线的标准方程为y2=16x 当焦点在y轴上时，根据x=0，x﹣2y﹣4=0可得焦点坐标为（0，﹣2） ∴抛物线的标准方程为x2=﹣8y 故答案为：y2=16x或x2=﹣8y 【点评】本题主要考查抛物线的标准方程．属基础题． 14. 过抛物线焦点的直线的倾斜角为，且与抛物线相交于两点，为原点，那么的面积为          ． 参考答案： 略 15. 如图，在某个城市中，M，N两地之间有南北街道5条、东西街道4条，现要求沿图中的街道，以最短的路程从M走到N，则不同的走法共有_________种． 参考答案： 35 略 16. 底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水. 四个球心在底面的射影，则ABCD是一个边长为的正方形，所以注水高为1+，故应注水                . 参考答案： cm3.     解析：设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心， 分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为. 故应注水＝ 17. 与点P（3，﹣2）关于直线x﹣1=0对称的点的坐标是　   　． 参考答案：   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在直角坐标系xOy中，曲线C1: （t为参数,且t≠0），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:, C3:. （I）求C2与C3交点的直角坐标； （II）若C1与 C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|最大值． 参考答案： 19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，c =3，． (1) 求b的值；   (2) 求sinC的值． 参考答案： （Ⅰ）由余弦定理，， 得，                                        ……3分 ．                                                            ……5分 （Ⅱ）方法1：由余弦定理，得，     ……8分 ∵C是△ABC的内角，                                                   ……9分 ∴．                                          …10分 方法2：∵，且B是△ABC的内角，                             ∴．                                            ……6分 根据正弦定理，， ．                                      ……10分 20. 欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽. 欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，求河宽. 参考答案： 解：由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60° 在△ABC中，由正弦定理＝ ∴ BC＝＝＝＝40 S△ABC＝AB·BCsinB＝AB·h ∴h＝BCsinB＝40×＝60＋20 略 21. （本小题满分12分） 由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：   支持 保留 不支持 20岁以下 800 450 200 20岁以上（含20岁） 100 150 300 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持