江西省上饶市裴梅中学高二数学理联考试题含解析

江西省上饶市裴梅中学高二数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在区间（0，2）上有两个极值点，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】方法一：求导f′（x）=lnx﹣2ax+1，由关于x的方程a=在区间（0，+∞）由两个不相等的实根，构造辅助函数，根据函数单调性即可求得a取值范围； 方法二：由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根，则y=2ax与y=lnx+1有两个交点，根据导数的几何意义，即可求得a的取值范围． 【解答】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求导f′（x）=lnx﹣2ax+1， 由题意，关于x的方程a=在区间（0，+∞）由两个不相等的实根， 令h（x）=，h′（x）=﹣， 当x∈（0，1）时，h（x）单调递增，当x∈（1，+∞）单调递减， 当x→+∞时，h（x）→0， 由图象可知：函数f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由两个极值， 只需＜a＜， 故D． 方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求导f′（x）=lnx﹣2ax+1， 由题意，关于x的方程2ax=lnx+1在区间（0，2）由两个不相等的实根， 则y=2ax与y=lnx+1有两个交点， 由直线y=lnx+1，求导y′=， 设切点（x0，y0），=，解得：x0=1， ∴切线的斜率k=1， 则2a=1，a=， 则当x=2，则直线斜率k=， 则a=， ∴a的取值范围（，）， 故选D． 2. 二项式展开式中的常数项为 A. －160 B. －180 C. 160 D. 180 参考答案： A 3. 对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据（xi，yi）（i=1，2，…8），其回归直线方程是x+a，且x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6，则实数a的值是（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可． 【解答】解：∵x1+x2+x3+…+x8=2（y1+y2+y3+…+y8）=6， ∴=， =， ∴样本中心点的坐标为（，）， 代入回归直线方程得， =×+a， ∴a=． 故选：B 4. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案.使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250； ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265； ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254； ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270, 关于上述样本下列的结论中，正确的是（   ） （A）①,③都可能为分层抽样   （B）②,③都不能为系统抽样源:Z.x （C）①,④都可能为系统抽样[来（D）②,④都不能为分层抽样[ 参考答案： A 5. 设A，B在圆x2+y2=1上运动，且|AB|=，点P在直线3x+4y﹣12=0上运动，则|+|的最小值为（　　） A．3 B．4 C． D． 参考答案： D 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】设AB的中点为D，则由题意， +=+++=2+2=2，当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB． 【解答】解：设AB的中点为D，则 由题意， +=+++=2+2=2， ∴当且仅当O，D，P三点共线时，|+|取得最小值，此时OP⊥直线3x+4y﹣12=0，OP⊥AB， ∵圆心到直线的距离为=，OD==， ∴|+|的最小值为2（﹣）=． 故选D． 6. 用秦九韶算法求多项式在时的值，的结果是（   ）    A.           B.          C.5            D.6 参考答案： D 7. 设M(x0，y0)为拋物线C：x2＝8y上一点，F为拋物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和拋物线C的准线相交，则y0的取值范围是(　　) A．(0,2)  B．[0,2] C．(2，＋∞)  D．[2，＋∞) 参考答案： C 8. 某程序框图如上右图所示，若输出的S＝57，则判断框内为(　　) A.k>4?       B．k>5?      C．k>6?       D．k>7? 参考答案： A 略 9. 已知二次函数，当依次取1，2，3，…，2012时，其图像在轴上所截得的线段的长度的总和为                                    A.        B.           C.         D. 参考答案： B 10. 椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A.             B.              C.              D.   参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值是 ； 参考答案： 12. 函数在处的切线方程___________          参考答案： 略 13. 函数的导函数=______________ 参考答案： 【分析】 根据函数的导数公式进行计算即可． 【详解】∵f（x） 由导数的运算法则可知：（）′＝，（）′＝， ∴f′（x）＝+， 故答案为f′（x）＝+． 【点睛】本题主要考查函数的导数的计算，根据函数的导数公式是解决本题的关键．比较基础． 14. 《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则n=          ． 参考答案： 9999 ，，，， 按照以上规律，可得.   15. 已知△ABC三边a，b，c上的高分别为,，，1，则cosA=　　． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【分析】由题意和三角形的面积公式列出方程，化简后得到a、b、c的关系，由余弦定理求出cosA的值． 【解答】解：∵△ABC三边a，b，c上的高分别为， ∴， 则，即c=a，b=a， 由余弦定理得，cosA= ==， 故答案为：． 　 16. 下图是一个物体的三视图，根据图中尺寸（单位：cm），计算它的体积为       cm3. 参考答案： 17. 设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于＿＿＿＿＿＿ 参考答案： 6 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）右图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD， EC//PD，且PD＝AD＝2CE＝2 . （1）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB； （2）求该几何体的体积； 参考答案： （1）证明：连结AC与BD交于点F, 连结NF， ∵F为BD的中点，N为PB的中点 ∴NF//PD且NF＝PD 又EC//PD且EC＝PD ∴NF//EC且NF＝EC ∴四边形NFCE为平行四边形 ∴NE//FC ∵PD⊥平面ABCD，，AC平面ABCD ∴PD⊥AC， ∵AC⊥BD且PD∩BD=D ∴AC⊥平面PBD  ∵EN//AC  ∴NE⊥平面PBD （2）∵PD⊥平面ABCD，，BC平面ABCD  ks5u ∴PD⊥BC， ∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面DBC＝CD  ∴BC⊥平面PDCE    ∵ ∴四棱锥B－CEPD的体积 ∵三棱锥P－ABD的体积 略 19. 已知函数． （1）分别求的值，并归纳猜想一般性结论（不要求证明）； （2）求值：． 参考答案： 【考点】F1：归纳推理． 【分析】（1）代值计算即可，并猜想一般的结论， （2）由（1），即可得出结论． 【解答】解：（1）∵， ∴， 同理可得， 猜想． （2）∵， 又由（1）得，， 则 =． 20. 已知A，B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴交于点P． （Ⅰ）若直线AB经过抛物线y2=4x的焦点，求A，B两点的纵坐标之积； （Ⅱ）若点P的坐标为（4，0），弦AB的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）求出抛物线的焦点，设直线AB方程为y=k（x﹣1），联立抛物线方程，消去x，可得y的方程，运用韦达定理，即可求得A，B两点的纵坐标之积； （Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和抛物线方程，消去y，可得x的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，化简整理，再由二次函数的最值，即可求得弦长的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F（1，0）， 依题意，设直线AB方程为y=k（x﹣1），其中k≠0． 将代入直线方程，得， 整理得ky2﹣4y﹣4k=0， 所以yAyB=﹣4，即A，B两点的纵坐标之积为﹣4． （Ⅱ）设AB：y=kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）． 由得k2x2+（2kb﹣4）x+b2=0． 由△=4k2b2+16﹣16kb﹣4k2b2=16﹣16kb＞0，得kb＜1． 所以，． 设AB中点坐标为（x0，y0）， 则，， 所以弦AB的垂直平分线方程为， 令y=0，得． 由已知，即2k2=2﹣kb． ====， 当，即时，|AB|的最大值为6． 当时，；当时，．均符合题意． 所以弦AB的长度存在最大值，其最大值为6． 【点评】本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，考查直线和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理和弦长公式，结合二次函数的最值求法，属于中档题． 21. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若方程有三个不同的解，求实数的取值范围. 参考答案： （1）当，， 所以当时，，满足题意； 当时，，由得，得，所以； 当时，，不合题意. 综上，不等式的解集为 （2）由得， 则方程有三个不同的解等价于函数的图象和函数的图象有三个不同交点， 因为，画出其图象，如图所示， 结合图象可知，函数的图象和函数的图象 有三个不同交点时，则有即， 所以实数的取值范围为. 22. 已知函数，（ 1）若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范围；（2）若在时取得极值，且时，恒成立，求的取值范围。 参考答案： 解析：（1），的图象上有与轴平行的切线，则有实数根，即方程有实数根，由得。（2）由题意得是方程的一个根，设另一根为，则，∴，∴，，当时，，时，，时，，∴当时， 故双曲线的方程为      ………………………………4分 （2）设直线：，，，