吉林省四平市伊通第六中学高二数学理上学期期末试题含解析

吉林省四平市伊通第六中学高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若实数满足，且，则称与互补，记那么是与b互补的（    ） A.必要而不充分条件                                          B.充分而不必要条件   C.充要条件                                                        D.既不充分也不必要条件 参考答案： C 2. 抛物线y=x2的焦点坐标是(     ) A．（0，）      B.(,0)       C.(1,0)           D.(0,1) 参考答案： D 3. 已知满足，则（     ） A. B. C. D. 参考答案： A ，选A. 4. 设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题错误的是(　)． A．若d＜0，则数列{Sn}有最大项 B．若数列{Sn}有最大项，则d＜0 C．若数列{Sn}是递增数列，则对任意n∈N*，均有Sn＞0 D．若对任意n∈N*，均有Sn＞0，则数列{Sn}是递增数列 参考答案： C 略 5. 在△中，“”是“”的（   ） A  充分不必要条件            B  必要不充分条件 C  充要条件                  D  既不充分也不必要条件 参考答案： C 6. 一个各面都涂满红色的4×4×4（长、宽、高均为4）正方体，被锯成同样大小的单位（长宽高均为1）小正方体，将这些小正方体放在一个不透明的袋子中，充分混合后，从中任取一个小正方体，则取出仅有一面涂有色彩的小正方体的概率为（  ） A．   B．    C．            D． 参考答案： D 略 7. “x﹣1＞0”是“x2﹣1＞0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】解不等式根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可． 【解答】解：由x2﹣1＞0，解得：x＞1或x＜﹣1， 故x﹣1＞0”是“x2﹣1＞0”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题． 8. 已知，，则A∪B=（  ） A. (－∞,+∞) B. (1,2) C. (－1,3) D. (1,3) 参考答案： C ，，故选C. 9. 搞某一市场调查，规定在大都会商场门口随机抽一个人进行询问调查，直到调查到事先规定的调查人数为止，这种抽样方式是（  ） A、系统抽样                            B、分层抽样 C、简单随机抽样                        D、非以上三种抽样方法 参考答案： D 10. 已知空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则=                                           （      ）    A．      B．  C．  D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，①则②. 参考答案：   1       ；    240 12. 若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a+b=      ． 参考答案： ﹣10 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由题意和三个二次的关系可得，解方程组可得． 【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}， ∴a＜0且，解得， ∴a+b=﹣12+2=﹣10 故答案为：﹣10 【点评】本题考查一元二次不等式的解集，涉及韦达定理，属基础题． 13. 直线x+y－3=0的倾斜角是_______________． 参考答案： _π 14. 设集合，则集合A中满足条件“”的元素个数为_____. 参考答案： 58024 【分析】 依题意得的取值是1到10的整数，满足的个数等于总数减去和的个数. 【详解】集合中共有个元素 ， 其中的只有1个元素， 的有 个元素， 故满足条件“”的元素个数为59049－1－1024＝58024. 【点睛】本题考查计数原理，方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法. 15. 观察下列各式：，……则=________. 参考答案： 123 试题分析：观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项． 继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十项为123，即a10＋b10＝123 考点：归纳推理 16. 一物体在力(单位：)的作用下沿与力相同的方向, 从处运动到 (单位：)处,则力做的功为           焦. 参考答案： 36 略 17. 等腰梯形ABCD中，上底CD=1，腰AD=CB=，下底AB=3，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为：___________ 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数 10 30 40 20   （1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示） （2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考. 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg. 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 售价(元/kg） 16 18 22 24   从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ （3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X). 参考答案： （1）；（2）第一种方案；（3）详见解析 【分析】 （1）计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求概率；（2）计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价比较，选择单价较低的方案；（3）根据分层抽样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则服从超几何分布，利用超几何分布的概率计算公式可得到每个取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果. 【详解】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为，则 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则 恰好抽到2个礼品果的概率为： （2）设方案2的单价为，则单价的期望值为： 从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案 （3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个 现从中抽取3个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为： 则；；； 的分布列如下：   【点睛】本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率. 19. （10分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？ 参考答案： 【考点】简单线性规划的应用． 【分析】设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；从而可得；z=1600x+2400y；利用线性规划求解． 【解答】解：设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元； 则由题意得，；z=1600x+2400y； 故作平面区域如下， 故联立，解得，x=5，y=12； 此时，z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元． 答：应配备A型车5辆、B型车12辆，营运成本最小，36800元． 【点评】本题考查线性规划的应用，列出约束条件画出可行域，求解目标函数的最值是解题的关键，考查数形结合以及计算能力． 20. （本题满分12分）如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．     参考答案： 由题意知，点M在线段CQ上， 从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|. 又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|， ∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.∵A(1，0)，C(－1，0)， ∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆， 且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝. 故点M的轨迹方程为＋＝1.即＋＝1. 21. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N+），数列{bn}的前n项和Tn=2n﹣1（n∈N+）． （1）求数列{}的前n项和； （2）求数列{an?bn}的前n项和． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】（1）由已知得an=2n+1．从而==，由此利用裂项求和法能求出数列{}的前n项和． （2）由已知得，从而an?bn=（2n+1）?2n﹣1，由此利用错位相减法能求出数列{an?bn}的前n项和． 【解答】解：（1）∵数列{an}的前n项和Sn=n2+2n（n∈N+）， ∴a1=S1=1+2=3， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2+2n）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1， n=1时，2n+1=3=a1， ∴an=2n+1． ∴==， ∴数列{}的前n项和： An=（+…+） = =． （2）∵数列{bn}的前n项和Tn=2n﹣1（n∈N+）， ∴b1=T1=2﹣1=1， n≥2时，bn=Tn﹣Tn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1， n=1时，2n﹣1=1=a1， ∴， ∴an?bn=（2n+1）?2n﹣1， ∴数列{an?bn}的前n项和： Bn=3?1+5?2+7?22+…+（2n+1）?2n﹣1，① 2Bn=3?2+5?22+7?23+…+（2n+1）?2n，② ①﹣②，得﹣Bn=3+22+23+…+2n﹣（2n+1）?2n =﹣（2n+1）?2n =2n+1﹣1﹣（2n+1）?2n， ∴Bn=（2n﹣1）?2n+1． 【点评】本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列项求和法和错位相减法的合理运用． 22. 已知，且． （1）求证：； （2）当时，不等式恒成立，求a的取值范围． 参考答案： （1）见证明；（2）. 【分析】 （1）由柯西不等式即可证明