2022年山西省阳泉市帝光中学高二数学理测试题含解析

2022年山西省阳泉市帝光中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0，则￢p是（　　） A．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 B．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0 C．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 D．?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0 参考答案： C 【考点】命题的否定． 【分析】由题意，命题p是一个全称命题，把条件中的全称量词改为存在量词，结论的否定作结论即可得到它的否定，由此规则写出其否定，对照选项即可得出正确选项 【解答】解：命题p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题，其否定是一个特称命题， 故?p：?x1，x2∈R，（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0． 故选：C． 【点评】本题考查命题否定，解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则，本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误，学习时要注意准确把握规律． 2. 若是的最小值，则的取值范围为（    ）   (A)[0，2]   (B)[-1,2]        (C)[1，2]            (D)[-1，0]  参考答案： A 3. 等比数列中，，则数列的前8项和等于 （   ）                    A．6           B．5              C．4          D．3 参考答案： C 略 4. 已知向量的夹角为，且（     ） A．1             B．2              C．3              D．4 参考答案： A 5. 如图，在正四棱柱中，E、F分别是的中点，则以下结论中不成立的是（    ） A、EF与BB1垂直 B、EF与BD垂直 C、EF与CD异面 D、EF与异面 参考答案： D 略 6. 对一切实数x，不等式x4+ax2+1≥0恒成立，则实a的取值范围是(     ) A．（﹣∞，﹣2） B．[﹣2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞） 参考答案： B 【考点】函数最值的应用． 【专题】计算题． 【分析】讨论x是否为零，然后将a分离出来，使得﹣a恒小于不等式另一侧的最小值即可，求出a的范围即为所求． 【解答】解：∵对一切实数x，不等式x4+ax2+1≥0 ∴x4+1≥﹣ax2在R上恒成立 当x=0时不等式恒成立 当x≠0时，﹣a≤在R上恒成立 而≥2 ∴﹣a≤2即a≥﹣2 故选B． 【点评】本题主要考查了恒成立问题，以及参数分离法和利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 7. 2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是 （　  　）   A．－＜x＜3     B．－＜x＜0     C．－3＜x＜     D．－1＜x＜6 参考答案： D 8. (   ) A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 根据定积分的运算公式，可以求接求解. 【详解】解:，故选C. 【点睛】本题考查了定积分的计算，熟练掌握常见被积函数的原函数是解题的关键. 9. 下面是一个2×2列联表：   y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 8 25 33 总计 b 46     则表中a、b处的值分别为                                          (　　) A．94、96　    　B．52、50       C．52、60      D．54、52 参考答案： C 10. 已知等差数列的公差为2,若成等比数列, 则等于 A． –4        B． –6         C． –8      D． –10 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列命题： ①已知集合，则“”是“”的充分不必要条件； ②“”是“”的必要不充分条件； ③“函数的最小正周期为”是“”的充要条件； ④“平面向量与的夹角是钝角”的充要条件的“”. 其中正确命题的序号是          ．（把所有正确命题的序号都写上） 参考答案： ①② 12. 已知双曲线，则其渐近线方程为_________,   离心率为________.                                                           参考答案： 、 13. 已知关于x的不等式 的解集为（-∞，1） （2，+∞），则不等式 的解集为　　　　　 。 参考答案： （-∞，0）∪[2，+∞） 解析：立足于直面求解： (x-1)[(a-1)x+1]<0①∴由已知解集得　　 a-1<0且① 　　因此，不等式  x(x-2) ≥0(x≠0) x＜0或x≥2 　　∴所求不等式的解集为（-∞，0）∪[2，+∞） 14. sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于__________． 参考答案： 考点：两角和与差的正弦函数． 专题：计算题． 分析：本题可用两角和的正弦函数对sin14°cos16°+cos14°sin16°，再利用特殊角的三角函数求值 解答： 解：由题意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°= 故答案为：． 点评：本题考查两角和与并的正弦函数，解题的关键是熟记两角和与差的正弦函数公式，及特殊角的三角函数值，本题是基本公式考查题． 15. 已知函数是偶函数，是奇函数，正数数列满足，，求数列的通项公式为________________． 参考答案： 16. 若是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为            参考答案： [4,8) 17. 点P（8，1）平分双曲线x2﹣4y2=4的一条弦，则这条弦所在的直线方程是　　． 参考答案： 2x﹣y﹣15=0 【考点】直线与圆锥曲线的关系；双曲线的简单性质． 【分析】设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），由AB的中点是P（8，1），知x1+x2=16，y1+y2=2，利用点差法能求出这条弦所在的直线方程． 【解答】解：设弦的两端点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∵AB的中点是P（8，1），∴x1+x2=16，y1+y2=2， 把A（x1，y1），B（x2，y2）代入双曲线x2﹣4y2=4， 得， ∴（x1+x2）（x1﹣x2）﹣4（y1﹣y2）（y1+y2）=0， ∴16（x1﹣x2）﹣8（y1﹣y2）=0， ∴k==2， ∴这条弦所在的直线方程是2x﹣y﹣15=0． 故答案为：2x﹣y﹣15=0． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3． （I）求数列{an}的通项公式； （II）若数列{an}的前k项和=-35，求k的值． 参考答案： 解：（I）设等差数列的公差为d，则     由     解得d=-2。 从而， （II）由（I）可知， 所以 进而由 即，解得 又为所求。                           略 19. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点且不垂直于轴直线与椭圆相交于两个不同点。 （1）求椭圆的方程； （2）求的取值范围； （3）若B点在于轴的对称点是E，证明：直线与轴相交于定点。 参考答案： 20. 已知圆C的方程为：x2＋y2－4mx－2y＋8m－7＝0，(m∈R)．   (1)试求m的值，使圆C的面积最小；   (2)求与满足(1)中条件的圆C相切，且过点(4，－3)的直线方程． 参考答案： 配方得圆的方程为(x－2m)2＋(y－1)2＝4(m－1)2＋4. (1)当m＝1时，圆的半径最小，此时圆的面积最小． (2)当m＝1时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 当斜率存在时设所求直线方程为y＋3＝k(x－4)， 即kx－y－4k－3＝0. 由直线与圆相切，所以＝2， 解得k＝－. 所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，即3x＋4y＝0. 又过(4，－3)点，且与x轴垂直的直线x＝4，也与圆相切． 所以所求直线方程为3x＋4y＝0及x＝4   21. 设函数f（x）=alnx+，其中a为常数． （Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性． 参考答案： 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义，曲线y=f（x）在x=1处的切线方程为y﹣f（1）=f′（1）（x﹣1），代入计算即可． （Ⅱ）先对其进行求导，即，考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，分成a≥0，﹣＜a＜0，a≤﹣三种情况分别讨论即可． 【解答】解：， （Ⅰ）当a=0时，，f′（1）=，f（1）=0 ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（x﹣1）． （Ⅱ）（1）当a≥0时，由x＞0知f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）当a＜0时，令f′（x）＞0，则＞0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＞0， 令f′（x）＜0，则＜0，整理得，ax2+（2a+2）x+a＜0． 以下考虑函数g（x）=ax2+（2a+2）x+a，g（0）=a＜0.，对称轴方程． ①当a≤﹣时，△≤0，∴g（x）＜0恒成立．（x＞0） ②当﹣＜a＜0时，此时，对称轴方程＞0， ∴g（x）=0的两根一正一负，计算得 当0＜x＜时，g（x）＞0； 当x＞时，g（x）＜0． 综合（1）（2）可知， 当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上单调递减； 当﹣＜a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减； 当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增． 22. 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，另一个焦点是，且。 （1）求椭圆的方程； （2）直线过点，且与椭圆交于两点，求的内切圆面积的最大值。 参考答案： 解：（1）设椭圆方程为，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点， 则点为。-----------------------1分 ，而为，则有 则有，所以             -----------------------2分 又因为 所以                             -----------------------3分 所以椭圆方程为：                      -----------------------4分 （2）由（1）知,过点的直线与椭圆交于两点，则 的周长为，则（为三角形内切圆半径），当的面积最大时，其内切圆面积最大。                       -----------------------5分 设直线方程为：，，则 --------------------7分 所以-------------------9分 令，则，所以，而在上单调递增， 所以，当时取等号，即当时，的面积最大值为3， 结合，得的最