辽宁省铁岭市杨木林子中学高三数学理下学期期末试卷含解析

辽宁省铁岭市杨木林子中学高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 集合A={0,1,2,3,4}，，则A∩B=（    ） A. {2,4} B. {0,2,4} C. {0,2} D. {0,4} 参考答案： B 【分析】 由可知B是偶数集，再根据集合的交运算得到最后结果。 【详解】因为集合B是偶数集，所以，故选B. 【点睛】本题考查了集合的运算，属于基础题。 2. 下列程序框图的输出结果为 A.            B.          C.         D. 参考答案： C 3. 已知偶函数y=f（x）对于任意的满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】设g（x）=，则可判断g（x）在[0，）上单调递增，利用g（x）的单调性，结合f（x）的奇偶性即可判断． 【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=＞0， ∵对于任意的满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0， ∴g（x）在[0，）上是增函数， ∴g（0）＜g（）＜g（）＜g（）， 即f（0）＜＜＜， ∴f（）＞f（），f（0）＜f（），f（）＜f（）， 又f（x）是偶函数， ∴f（﹣）＞f（），f（﹣）＞f（﹣），f（0）＜f（﹣）， 故选D． 4. 的值为（　   ） A．    B．    C．    D． 参考答案： C 略 5. 已知x∈（﹣，0），cosx=，则tan2x=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】二倍角的正切． 【分析】由cosx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinx的值，进而求出tanx的值，然后把所求的式子利用二倍角的正切函数公式变形后，将tanx的值代入即可求出值． 【解答】解：由cosx=，x∈（﹣，0）， 得到sinx=﹣，所以tanx=﹣， 则tan2x===﹣． 故选D 6. 如果函数f(x)＝sin(x＋θ)(0<θ<π)是最小正周期为T的偶函数，那么(     ) 参考答案： B 略 7. （5分）（2015?淄博一模）曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（　　） 　 A． B． C． D． 2 参考答案： B 【考点】： 点到直线的距离公式． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： f′（x）=ex+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由es+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离． 解：f′（x）=ex+2x+1， 设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0， 则es+2s+1=2．解得s=0． ∴切点为P（0，2）， ∴曲线f（x）=ex+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==． 故选：B． 【点评】： 本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8. 设集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为(     ) A．8 B．7 C．6 D．5 参考答案： C 考点：并集及其运算． 专题：集合． 分析：根据并集的运算计算即可． 解答： 解：∵A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}， ∴A∪B={3，4，5，6，7，8}， 故则A∪B中元素的个数为6个， 故选：C 点评：本题考查了集合的运算，属于基础题． 9. 如图是函数f（x）=x2+ax+b的部分图象，则函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（　　） 　 A．（） B． （1，2） C． （，1） D． （2，3） 参考答案： 考点： 函数零点的判定定理． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由二次函数图象的对称轴确定a的范围，据g（x）的表达式计算g（）和g（1）的值的符号，从而确定零点所在的区间． 解答： 解：由函数f（x）=x2+ax+b的部分图象得0＜b＜1，f（1）=0，从而﹣2＜a＜﹣1， 而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增， g（）=ln+1+a＜0， g（1）=ln1+2+a=2+a＞0， ∴函数g（x）=lnx+f′（x）的零点所在的区间是（，1）； 故选C． 点评： 本题主要考查了导数的运算，以及函数零点的判断，同时考查了运算求解能力和识图能力，属于基础题． 10. 已知f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+2f（3），且f（0）=3，则f=(     ) A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 考点：函数奇偶性的性质． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：令x=﹣3可求f（3），然后代入可得f（x+6）=f（x）即函数是以6为周期的函数，结合已知可求函数值． 解：f（x+6）=f（x）+2f（3），且f（x）是定义在R上的偶函数 令x=﹣3可得f（3）=f（﹣3）+2f（3）且f（﹣3）=f（3） ∴f（﹣3）=f（3）=0 ∴f（x+6）=f（x），即函数是以6为周期的函数 ∵f（0）=3 ∴f=f（0）=3 故选：C． 点评：本题考查函数的周期性和奇偶性的应用，体现了转化的数学思想． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 二项式的展开式中含的项的系数是__________．（用数字作答） 参考答案：        12. 不等式|2x﹣1|+|2x+9|＞10的解集为　   　． 参考答案：   【考点】绝对值不等式的解法． 【分析】将绝对值不等式去掉，在每一段上解不等式，再求它们的并集即可． 【解答】解：当x≥时，4x+8＞10，解得x＞； 当﹣，﹣10＞10，解得无解； 当x≤﹣时，﹣4x﹣8＞10，解得x＜﹣； 综上所述不等式的解集为． 故答案为． 　 13. 几何证明选讲）是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且，设，则的值为         . 参考答案： 略 14. 函数 (为自然对数的底数)在区间上的最大值是      . 参考答案： 15. 在中，若，则面积的最大值为 参考答案： 略 16. 由一个数列中部分项按原来次序排列的数列叫做这个数列的子数列，试在无穷等比数列，，，…中找出一个无穷等比的子数列，使它所有项的和为，则此子数列的通项公式为__________． 参考答案： 17. 过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，设的斜率分别为，若点关于原点对称，且则此椭圆的离心率为___________. 参考答案： 设,则，所以，又，两式相减得，即，所以，即，整理得，即，所以离心率。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 某园艺师培育了两种珍稀树苗 与，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成如下茎叶图（单位：） 在这30株树苗中、树高在175以上（包括175）定义为“生长良好”，树高在175以下（不包括175）定义为“非生长良好”，且只有“生长良好”的才可以出售。 （1）对于这30株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？ （2）若从所有“生长良好”中选3株，用表示所选中的树苗中能出售的种树苗的株数，试写出的分布列，并求的数学期望 参考答案： 19. 设命题p:函数的定义域为R;命题q:不等式,对∈(-∞,-1)上恒成立,如果命题“p∨q”为真命题,命题“p∧q”为假命题,求实数的取值范围. 参考答案： 解:若真则?<0且>0,故>2; 若真则,对x∈(-∞,-1)上恒成立, 在 上是增函数，此时x=-1,故≥1 “∨”为真命题,命题“∧”为假命题,等价于,一真一假.故1≤≤2 略 20. 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C的极坐标方程； （2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程； （2）利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN的长． 【解答】解：（1）（x﹣）2+（y+1）2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0， 故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．… （2）将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0， ∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5， ∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．… 21. 如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD为四边形，，，，平面PAC⊥平面PBD，，， （Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD； （Ⅱ）若四边形ABCD中，，，M为PC上一点，且，求三棱锥体积. 参考答案： （Ⅰ）证明见解析（Ⅱ） 【分析】 （Ⅰ）根据题意，设，连接，易证；再在三角形PAC中应用余弦定理证明，进而可证平面。 （Ⅱ）根据，可知点到平面的距离是点到平面的距离的，因而可先求得；的体积可利用等体积法求得。 【详解】（Ⅰ）设，连接，,，为中点 又，，平面平面，平面平面 平面，平面  在中，由余弦定理得 ，而 平面 （Ⅱ）因为，可知点到平面的距离是点到平面的距离的， ，四边形中， 则,,则， 【点睛】本题考查了立体几何线面垂直的证明，等体积法在立体几何中的简单应用，属于基础题。 22. 民大附中的甲、乙两人同时参加某大学的自主招生，在申请材料中提交了某学科10次的考试成绩（满分100分），按照时间顺序记录如下： （1）根据两组数据画出两人成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两人成绩的平均值及分散程度（不要求计算具体值，直接写出结论即可）； （2）现将两人成绩分为三个等级： 成绩分数 [0，70] [70，90] [90，100] 等级 C级 B级 A级 注：A级高于B级，B级高于C级 假设两人的成绩相互独立，根据所给的数据，以事件发生的频率为相应事件发生的概率，求甲的等级高于乙的等级的概率； （3）假如你是该大学的招生老师，结合上述数据，决定应录取哪位同学，说明理由． 参考答案： 【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图． 【分析】（1）以十位数为茎，个位数为叶，能作出茎叶图，由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩，甲的离散程度大于乙的离散程度． （2）由已知得甲的10次成绩中，C级有5次，B级有3次，A级有2次，乙的10次成绩中，C级有7次，B级有2次，C级有1次，由此能求出甲的等级高于乙的等级的概率． （3）假如我是该大学的招生老师，结合上述数据，我决定应录取甲同学，理由是同学平均成绩优于乙的平均成绩． 【解答】解：（1）以十位数为茎，个位数为叶，作出茎叶图，如下图： 由茎叶图知甲的平均成绩大于乙的平均成绩， 甲的离散程度大于乙的离散程度． （2）由已知得甲的10次成绩中，C级有5次，B级有3次，A级有2次， 乙的10次成绩