四川省泸州市赵化镇中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析

四川省泸州市赵化镇中学2022-2023学年高一数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（   ） A.      B. C       D 参考答案： A 略 2. 数列的通项公式为，则数列的前项和（   ） A.    B.    C.       D. 参考答案： D 略 3. 将甲、乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲、乙两人成绩的中位数分别为，则下列说法正确的是     A．；乙比甲成绩稳定    B．；甲比乙成绩稳定    C．；乙比甲成绩稳定     D．；甲比乙成绩稳定 参考答案： A 略 4. 在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2， =，则λ=（　　） A． B． C．﹣ D．﹣ 参考答案： A 【考点】向量加减混合运算及其几何意义． 【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ． 【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点 ∵=2， =， ∴=， ∴λ=， 故选A． 【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量． 5. 满足条件的集合M的个数为（      ） A、8                  B、6                     C、2               D、4 参考答案： C 6. 函数y=xcosx+sinx的图象大致为（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】3O：函数的图象． 【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求． 【解答】解：由于函数y=xcosx+sinx为奇函数， 故它的图象关于原点对称，所以排除选项B， 由当x=时，y=1＞0， 当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0． 由此可排除选项A和选项C． 故正确的选项为D． 故选：D． 7. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为 A. ； B. C. D. 参考答案： A 【详解】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积；故八边形面积.故本题正确答案A. 考点：余弦定理和三角形面积的求解. 【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式求出个三角形的面积；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方，进而得到正方形的面积，最后得到答案. 8. 在等羞数列{an}中，a5=33，a45==153，则201是该数列的 A、第60项    B、第61项    C、第62项    D、第63项 参考答案： B 9. 若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（　　） A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z） 参考答案： B 【考点】正弦函数的对称性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案． 【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+）， 由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z）， 即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）， 故选：B． 【点评】本题考查函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题． 　 10. 设是三个互不重合的平面，m,n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是 （A）        （B） （C）  (D) （A）（B）（C）(D) 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，则函数f(x)的零点个数为▲个 ；不等式的解集为▲． 参考答案：   2；(－2,2)  12. 已知，若，则的值等于      ． 参考答案： 2 13. 已知，，，则的最小值为__________． 参考答案： 8 由题意可得： 则的最小值为. 当且仅当时等号成立. 点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则的值为—————。 参考答案： 3 15. 关于的方程，下列判断： ①存在实数，使得方程有两个相等的实数根．   ②存在实数，使得方程有两个不同的实数根；      ③存在实数，使得方程有三个不同的实数根；          ④存在实数，使得方程有四个不同的实数根 其中正确的有　　▲　　（填相应的序号）． 参考答案： ②③ 16. 已知函数f(x)=，若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使f（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是　     　． 参考答案： （，+∞）∪（﹣∞，0]   【考点】分段函数的应用． 【分析】由题意可得，在定义域内，函数f（x）不是单调的，考虑x≥1时，讨论函数的单调性，即可求得结论． 【解答】解：依题意，在定义域内，函数f（x）不是单调函数，分情况讨论： ①当x≥1时，若f（x）=x2 ﹣3ax 不是单调的，它的对称轴为x=a，则有a＞1， 解得a＞； ②当x≥1时，若f（x）=x2 ﹣3ax 是单调的，则f（x）单调递增，此时a≤1，即a≤． 当x＜1时，由题意可得f（x）=ax+1﹣4a应该不单调递增，故有a≤0． 综合得：a的取值范围是（，+∞）∪（﹣∞，0]． 故答案为：（，+∞）∪（﹣∞，0]． 　 17. 已知集合，，且，则实数的取值范围是_______________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形。 （1）求证：DM∥平面APC； （2）求证：平面ABC⊥平面APC； （3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点， ∴MD//AP，   又∴MD平面ABC ∴DM//平面APC （Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。 ∴MD⊥PB 又由（Ⅰ）∴知MD//AP，  ∴AP⊥PB 又已知AP⊥PC   ∴AP⊥平面PBC， ∴AP⊥BC，   又∵AC⊥BC ∴BC⊥平面APC，   ∴平面ABC⊥平面PAC   （Ⅲ）∵AB=20 ∴MB=10    ∴PB=10 又BC=4， ∴ 又MD ∴VD-BCM=VM-BCD= 略 19. 已知数列{an}满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），令bn=an+1． （Ⅰ）求证：{bn}是等比数列； （Ⅱ）记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn； （Ⅲ）求证：﹣＜+…+． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8K：数列与不等式的综合． 【分析】（I）a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），可得a2=8．利用递推关系可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），即bn+1=3bn，即可证明． （II）由（I）可得：bn=3n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出． （III）bn=3n=an+1，解得an=3n﹣1．由=，即可证明左边不等式成立．又由==＜=，即可证明右边不等式成立． 【解答】（I）证明：a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（n∈N*），∴a2=2×（2+1+1）=8． n≥2时，an=2（Sn﹣1+n），相减可得：an+1=3an+2，变形为：an+1+1=3（an+1），n=1时也成立． 令bn=an+1，则bn+1=3bn．∴{bn}是等比数列，首项为3，公比为3． （II）解：由（I）可得：bn=3n． ∴数列{nbn}的前n项和Tn=3+2×32+3×33+…+n?3n， 3Tn=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1， ∴﹣2Tn=3+32+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=×3n+1﹣， 解得Tn=+． （III）证明：∵bn=3n=an+1，解得an=3n﹣1． 由=． ∴+…+＞…+==，因此左边不等式成立． 又由==＜=， 可得+…+＜++…+ =＜．因此右边不等式成立． 综上可得：﹣＜+…+． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、“错位相减法”、“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 20. 求下列各式的值： (1)； (2)． 参考答案： （1）（2） 【分析】 （1）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果； （2）根据诱导公式，先将原式化简，再由特殊角对应的三角函数值，即可得出结果. 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式. 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值问题，熟记诱导公式即可，属于常考题型. 21. 证明： 参考答案： 证明：因为      从而有                                                     评述：本题看似“化简为繁”，实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令，展开即可.   22. 已知，求的值． 参考答案： -2 原式．.............10分