北京市石景山中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析

北京市石景山中学2022年高二数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知，则（   ） A.22014              B. 32013          C. 1                D. -1 参考答案： C 2. 函数的零点所在的一个区间是(    )ks5u 　 A、(-2,-1)　　   B、(-1,0)　　　 C、(0,1)　　　 D、(1,2) 参考答案： B 略 3. 抛物线上一点P到轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是(  ) A.4        B.6        C.8        D.12 参考答案： B 略 4. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积． 【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图 我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1 则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d= 则球半径R2== 则该球的表面积S=4πR2= 故选B 5. 某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班，每人4天. 甲说：我在1日和3日都有值班 乙说：我在8日和9日都有值班 丙说：我们三人各自值班日期之和相等 据此可判断丙必定值班的日期是（    ） A. 10日和12日 B. 2日和7日 C. 4日和5日 D. 6日和11日 参考答案： D 【分析】 确定三人各自值班的日期之和为26，由题可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，确定丙必定值班的日期． 【详解】由题意，1至12的和为78， 因为三人各自值班的日期之和相等， 所以三人各自值班的日期之和为26， 根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、 10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5， 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日， 故选：． 【点睛】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 6. 过点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（　　） A．3x﹣2y=0 B．x+y﹣5=0 C．3x﹣2y=0或x+y﹣5=0 D．2x﹣3y=0或x+y﹣5=0 参考答案： C 【考点】直线的截距式方程． 【专题】计算题；分类讨论． 【分析】分两种情况：当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为y=kx，把P的坐标代入即可求出k的值，得到直线l的方程；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线l的方程为x+y=a，把P的坐标代入即可求出a的值，得到直线l的方程． 【解答】解：①当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线l的方程为：y=kx 把点P（2，3）代入方程，得：3=2k，即 所以直线l的方程为：3x﹣2y=0； ②当直线在两坐标轴上的截距都不为0时， 设直线l的方程为： 把点P（2，3）代入方程，得：，即a=5 所以直线l的方程为：x+y﹣5=0． 故选C 【点评】本题题考查学生会利用待定系数法求直线的解析式，直线方程的截距式的应用，不要漏掉截距为0的情况的考虑，考查了分类讨论的数学思想，是一道中档题 7. 设，则二项式的展开式的常数项是（    ） A. -160 B. -80 C. 80 D. 160 参考答案： B 【分析】 求出定积分的值，然后求出二项式的展开式的通项公式，然后化简，让的指数为零，最后求出常数项. 【详解】，， 所以，令，所以常数项为，故本题选B. 8. 集合,则集合P∩Q的交点个数是（   ） A. 0 个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 参考答案： B 【分析】 在同一坐标系中，画出函数和的图象，结合图象，即可求解，得到答案。 【详解】由题意，在同一坐标系中，画出函数和的图象， 如图所示，由图象看出，和只有一个交点， 所以的交点个为1， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了集合的交集，以及指数函数与对数函数的图象的应用，其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键，着重考查了数形结合法的应用，属于基础题。 9. 已知函数，()，若，，使得，则实数的取值范围是 A.          B.          C.         D. 参考答案： D 略 10. 设a，b∈R+，且a≠b，a+b=2，则必有 （　　） A．1≤ab≤ B．＜ab＜1 C．ab＜＜1 D．1＜ab＜ 参考答案： D 【考点】基本不等式． 【分析】由a≠b，a+b=2，则必有a2+b2＞2ab，，化简即可得出． 【解答】解：∵a≠b，a+b=2，则必有a2+b2＞2ab，，∴1＜ab＜． 故选：D． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 顶点在原点，准线为x=4的抛物线的标准方程是　　． 参考答案： y2=﹣16x 【考点】抛物线的简单性质． 【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据准线方程，可设抛物线y2=mx，利用准线方程为x=4，即可求得m的值，进而求得抛物线的方程． 【解答】解：由题意设抛物线y2=mx，则﹣=4，∴m=﹣16， ∴抛物线的标准方程为y2=﹣16x， 故答案为：y2=﹣16x． 【点评】考查抛物线的定义和简单的几何性质，以及待定系数法求抛物线的标准方程．体现了数形结合的思想，特别是解析几何，一定注意对几何图形的研究，以便简化计算． 12. 若执行如下图所示的框图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝4，x4＝8，则输出的数等于________． 参考答案： 13. 设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，  则该椭圆的方程为_________. 参考答案： 14. （1）给出下列四个命题： ①设，若，则；  ②两个复数不能比较大小；③若则是纯虚数； ④设，则 “”是“与互为共轭复数”的必要不充分条件． 其中，真命题的序号为     ▲     ． 参考答案： ④ 略 15. 设随机变量X～B(2,p),Y～B(3,p),若P（X）=，则P（Y）=___________. 参考答案： 略 16. 已知函数，则_______. 参考答案： 0 【分析】 求导即可求解. 【详解】因为 ， 所以. 【点睛】本题考查导数的运算，属于基础题. 17. i是虚数单位，则复数的虚部为______． 参考答案： -1 【分析】 分子分母同时乘以，进行分母实数化。 【详解】，其虚部为-1 【点睛】分母实数化是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是一道基础题。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知点在椭圆上, 以为圆心的圆与      轴相切于椭圆的右焦点.    (1)若圆与轴相切,求椭圆的离心率；    (2)若圆与轴相交于两点,且是边长为2的正三角形，求椭圆的方程. 参考答案： 解：(1)设，圆M的半径为. 依题意得 将代入椭圆方程得：，所以，又 从而得 ，两边除以得： 解得：……………………………………………….4分 因为，所以 ………………………………………..6分 (2)因为是边长为2的正三角形，所以圆M的半径，  M到圆轴的距离  又由(1)知：， 所以，，  又因为 ,解得：,  所求椭圆方程是：……………………………………………12分   略 19. 已知函数，． （1）试讨论函数f(x)的极值点的个数； （2）若，且恒成立，求a的最大值． 参考数据： 1.6 1.7 1.74 1.8 10 4.953 5.474 5.697 6.050 22026 0.470 0.531 0.554 0.558 2.303     参考答案： （1）见解析；（2）10 【分析】 （1）求出函数f（x）的导数，按①当a≤0时，②当a＞0时，分类讨论求解即可； （2）由于恒成立，利用，；，；，；因为，猜想：的最大值是，再证明＝符合题意即可. 【详解】（1）函数的定义域为．， ①当时，，在定义域单调递减，没有极值点； ②当时，在单调递减且图像连续， ，时，∴存在唯一正数，使得， 函数在单调递增，在单调递减，∴函数有唯一极大值点，没有极小值点， 综上：当时，没有极值点；当时，有唯一极大值点，没有极小值点． （2）由于恒成立，∴，； ，；，； ∵，∴猜想：的最大值是．下面证明时，． ，且在单调递减，由于，， ∴存在唯一，使得， ∴． 令，，易知在单调递减， ∴， ∴，即时，． ∴的最大值是10． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值、最值，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，属于难题． 20. （本小题满分13分）已知一直线l与椭圆＋＝1相交于A、B两点，且弦AB的中点为P(2,1)．求直线l的方程；     参考答案： 略 21. 设Sn是等差数列{an}的前n项的和，已知S7=7，S15=75，Tn为数列{||}的前n项的和，求Tn． 参考答案： 【考点】数列的求和． 【分析】根据等差数列的前n项和公式，再结合条件S7=7，S15=75进而可求出首项a1和公差d，可求sn，进而可求||，讨论当n≤5，Tn，n＞6，两种情况，结合等差数列的求和公式即可求解． 【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则， ，解得：a1=﹣2，d=1， ∴， ||=||， n≤5，||=﹣+，数列{||}是2为首项，﹣为公差的等差数列， Tn==n﹣n， T5=5， 当n≥6，Tn=++…﹣﹣…﹣， Tn=2T5﹣Tn=n2﹣n+10， ∴Tn=． 22. 某校在两个班进行教学方式对比试验，两个月后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如2×2列联表所示（单位：人）．   80及80分以下 80分以上 合计 试验班 35 15 50 对照班 15 m 50 合计 50 50 n （1）求m，n； （2）你有多大把握认为“教学方式与成绩有关系”？ 参考公式及数据：K2=， 其中n=a+b+c+d为样本容量． p（K2≥k） … 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 … k … 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 … 参考答案： 【考点】BL：独立性检验． 【分析】（1）根据列联表中的数据，求出m、n的值； （2）计算观测值K2，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据如2×2列联表知，m=50﹣15=35， n=50+50=100； （2）计算观测值K2= ==16＞10.828， 所以有99.9%的把握认为“教学方式与成绩有关系”． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．