广西壮族自治区桂林市龙水中学高三数学理月考试题含解析

广西壮族自治区桂林市龙水中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知抛物线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（     ） A.     B.     C.     D. 参考答案： D 略 2. 若a＞1，则双曲线的离心率的取值范围是 A.         B.      C.    D. 参考答案： C 3. 执行如图所示的程序框图，若输出的值为105，则输入的n（n∈N+）值可能为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 参考答案： D 【考点】程序框图． 【专题】图表型；算法和程序框图． 【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=105，i=9时由题意，应该不满足条件9＜n，输出S的值为105，由7＜n＜9，即可得解． 【解答】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，S=1 满足条件i＜n，S=1，i=3 满足条件i＜n，S=3，i=5 满足条件i＜n，S=15，i=7 满足条件i＜n，S=105，i=9 此时，由题意，应该不满足条件9＜n，退出循环，输出S的值为105． 故7＜n＜9， 故选：D． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题． 4. 已知点, 为抛物线的焦点, 点在抛物线上, 使取得最小值, 则最小值为  （    ）                                     A．           B．           C．        D． 参考答案： D 5. 若函数f（x）为定义在D上的单调函数，且存在区间[a，b]?D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的取值范围恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数．若函数g（x）=x2+m是（﹣∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围为（　　） A．（﹣，﹣1） B．（﹣1，﹣） C．（﹣，﹣） D．（﹣，0） 参考答案： B 【考点】二次函数的性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据正函数的定义可知，存在区间[a，b]?（﹣∞，0），x∈[a，b]时，g（x）∈[a，b]．根据g（x）在[a，b]上的单调性即可得到，而这两式相减即可得到a+b=﹣1，从而得到a=﹣b﹣1，根据a＜b＜0可求出b的范围，而m=﹣b2﹣b﹣1，这样根据二次函数的单调性即可求出﹣b2﹣b﹣1的范围，从而求出m的范围． 【解答】解：g（x）是（﹣∞，0）上的正函数； ∴存在区间[a，b]?（﹣∞，0），x∈[a，b]时，f（x）∈[a，b]； g（x）在[a，b]上单调递减； ∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（b），f（a）]=[b2+m，a2+m]； ∴； ∴a2﹣b2=b﹣a； ∴a+b=﹣1； ∴a=﹣b﹣1； 由a＜b＜0得﹣b﹣1＜b＜0； ∴； m=a﹣b2=﹣b2﹣b﹣1； 设f（b）=﹣b2﹣b﹣1，对称轴为b=； ∴f（b）在上单调递减； ∴； ∴实数m的取值范围为（﹣1，）． 故选：B． 【点评】考查对正函数定义的理解，二次函数的单调性，以及根据函数单调性求函数的取值范围． 6. 三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，则该三棱锥外接球的表面积为(     ) A．5π B． C．20π D．4π 参考答案： A 考点：球的体积和表面积． 专题：空间位置关系与距离；球． 分析：根据题意，证出BC⊥平面SAB，可得BC⊥PB，得Rt△BPC的中线OB=PC，同理得到OA=PC，因此O是三棱锥P﹣ABC的外接球心．利用勾股定理结合题中数据算出PC=，得外接球半径R=，从而得到所求外接球的表面积 解答： 解：取PC的中点O，连结OA、OB ∵PA⊥平面ABC，AC?平面ABC， ∴PA⊥AC，可得Rt△APC中，中线OA=PC 又∵PA⊥BC，AB⊥BC，PA、AB是平面PAB内的相交直线 ∴BC⊥平面PAB，可得BC⊥PB 因此Rt△BPC中，中线OB=PC ∴O是三棱锥P﹣ABC的外接球心， ∵Rt△PCA中，AC=，PA= ∴PC=，可得外接球半径R=PC= ∴外接球的表面积S=4πR2=5π 故选A． 点评：本题在特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式等知识，属于中档题． 7. 已知为不重合的两个平面，直线在平面内，则“”是“”的 A．充分而不必要条件    B．必要而不充分条件 C．充分必要条件        D．既不充分也不必要条件 参考答案： 8. 将函数y＝sin x的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是(　 　) A．y＝f(x)是奇函数  B．y＝f(x)的周期为π C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称  D．y＝f(x)的图像关于点对称 参考答案： D 9. 设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣1）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D．（0，1）∪（1，+∞） 参考答案： A 考点： 函数的单调性与导数的关系．  专题： 创新题型；函数的性质及应用；导数的综合应用． 分析： 由已知当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＜0成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x?g（x）＞0，数形结合解不等式组即可． 解答： 解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=， ∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立， 即当x＞0时，g′（x）恒小于0， ∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数， 又∵g（﹣x）====g（x）， ∴函数g（x）为定义域上的偶函数 又∵g（﹣1）==0， ∴函数g（x）的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式f（x）＞0?x?g（x）＞0 ?或， ?0＜x＜1或x＜﹣1． 故选：A． 点评： 本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 10. 已知变量满足约束条件，则的最大值为   （  ） （A） 1             （B） 2             （C） 3             （D） 4 参考答案： B 作出约束条件所表示的平面区域，如图所示， 易知可行域为一个三角形， 其三个顶点的坐标分别为， 验证知在点时目标函数取得最大值， 当直线过点时，此时最大值为，故选B.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图所示，将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第一群，第二群，…，第n群，…，第n群恰好n个数,则第月群中n个数的和是__________. 参考答案： 12. 若（1+ex）2014=a0+a1x+a2x2+…+a2014x2014，则﹣+﹣+﹣…+=　___　． 参考答案： -1  13. 某校在高三年级学生中随机抽出10个学生用视力表进行视力检查，得到的视力数据茎叶图如右图所示（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），则这组视力检查数据的平均数为____________．   参考答案： 4 略 14. 已知函数则满足不等式的的范围是               参考答案： 15. 已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C 交于A，B两点，若为的中点，则抛物线C的方程为           。 参考答案： 16. 定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件: ①，②若，；③ 则   ；    . 参考答案：     根据定义得。，，，所以根据归纳推理可知。 17. 已知函数f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），则f﹣1（x）=　     　． 参考答案： ﹣，x∈（﹣1，0] 【考点】反函数． 【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据反函数的定义，用y表示出x，再交换x、y的位置，即可得出f﹣1（x）． 【解答】解：函数y=f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0）， ∴y+1=x2， 又﹣1≤x＜0， ∴0≤y＜1， ∴x=﹣； 交换x、y的位置， 得y=f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0]． 故答案为：﹣，x∈（﹣1，0]． 【点评】本题考查了反函数的定义与应用问题，是基础题目． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （满分14分） 设数列{}的前n项和为，且.     ⑴证明数列{}为等比数列     ⑵求{}的前n项和   参考答案： ⑴令n=1,S1=2a1－3. ∴a1 =3   由 Sn+1=2an+1－3(n+1), Sn=2an－3n, 两式相减，得   an+1 =2an+1－2an－3， 则  an+1 =2an+3 ．……………………………………………4分   所以{}为公比为2的等比数列…7分 ⑵an+3=（a1+3）·2n－1=6·2n－1，      ∴ an =6·2n－1－3 ………………………………………9分 …………………11分 …………………14分 19. （本小题满分12分）已知四边形满足∥，，是的中点，将沿着翻折成，使面面，为的中点. （Ⅰ）求四棱的体积；（Ⅱ）证明：∥面； （Ⅲ）求面与面所成二面角的余弦值. 参考答案： （Ⅰ）取的中点连接，因为，为等边三角形，则，又因为面面，所以面，……2分 所以…………4分 （Ⅱ）连接交于，连接，因为为菱形，，又为的中点， 所以∥，所以∥面……………7分 （Ⅲ）连接，分别以为轴 则 ……9分 设面的法向量，，令，则 设面的法向量为，，令，则……11分 则，所以二面角的余弦值为……12分 20. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）       某市有A、B两所示范高中响应政府的号召，对该市甲、乙两个教育落后地区开展支教活动．上级研究决定：向甲地派出3名A校教师和2名B校教师，向乙地派出3名A校教师和3名B校教师．由于客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区   （1）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；   （2）求互换后A校教师派往甲地人数x的分布和数学期望． 参考答案： 略 21. (09 年石景山区统一测试理)(13分) 已知为锐角，向量，，且．    （Ⅰ）求角的大小；    （Ⅱ）求函数的值域． 参考答案： 解析：（Ⅰ）由题意得：，          …………2分 　　∴　，即 ．                 ………………4分 　　∵　为锐角， 　　∴　, 即 ．                              ………………6分 　（Ⅱ）由（Ⅰ）知， 　　∴  ． 　　　　　　　                                               ………………9分 因为，所以， 因此，当时，有最大值；       当时，有