湖南省衡阳市 县檀桥中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析

湖南省衡阳市 县檀桥中学2022-2023学年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 对于任意实数，符号表示不超过的最大整数,例如：，，，那么  （      ） A．             B．             C．          D． 参考答案： A 2. 定义在上的函数满足且时，则（   ）     (A)   (B)       (C)      (D) 参考答案： C 3. 已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）      A.第一象限      B.第二象限                 C.第三象限              D.第四象限 参考答案： A 4. 已知命题，则（  ） A． B． C． D． 参考答案： A 略 5. 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为（   ） A．       B．      C．          D． 参考答案： B 略 6. 若且是，则是（   ） A．第一象限角   B． 第二象限角     C．第三象限角     D．第四象限角   参考答案： C 略 7. 已知数列{an}中，前n项和为Sn，且，则的最大值为（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1 参考答案： C 【考点】8H：数列递推式． 【分析】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出． 【解答】解：∵，∴n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=an﹣an﹣1，化为： ==1+， 由于数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2． ∴的最大值为3． 故选：C． 8. 在等差数列{an}中，若，则=（   ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 参考答案： A 【分析】 因为数列是是等差数列，所以可将用首项和公差表示为，即，然后用首项和公差表示，即，进而整体代入便可得结果。 【详解】解：因为数列是是等差数列，设首项为，公差为 所以可转化为，即 所以 故选A 【点睛】等差数列问题常见的解法是利用等差数列的基本量来进行求解，也可以利用等差数列的性质来进行解题，解题时应灵活运用。 9. 已知m，n是空间两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是   A．若，，，则  B．若，则   C．若则         D．若则 参考答案： D 根据线面垂直的判和性质可知，D正确。 10. 已知集合则下列结论正确的是     A．                           B．     C．                      D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某行业从2013年开始实施绩效工资改革，为了解该行业职工工资收入情况，调查了 lOOO名该行业的职工，并由所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，由图可知中位数为：  　 　现要从这1000人中再用分层抽样的方法抽出1OO人作进一步调查，则月收入在[3500，4000）（元）内应抽出　 　人． 参考答案： 3400；25． 【考点】频率分布直方图；分层抽样方法． 【专题】阅读型；图表型． 【分析】从频率分布直方图中求中位数，即求要使得两边的面积相等的数，设该数为x=a，则x=a的左边部分面积为．可以看出平分面积的直线应该在3000～3500之间，计算出第一个和第二个矩形面积之和，再加上第三个矩形中x=a的左边部分面积0.0005×（a﹣3000）为0.2，求解即可得到中位数a；根据频数=频率×样本容量，即可求得答案． 【解答】解：设中位数为a，则根据中位数两侧频率相等为0.5，可以看出平分面积的直线x=a应该在3000～3500之间， 第一个和第二个矩形面积之和为（0.0002+0.0004）×500=0.3， ∵在x=a的左边部分面积为， ∴（a﹣3000）×0.0005=﹣0.3，解得a=3400， ∴中位数为3400； 根据频率分布直方图，可得在[3500，4000）收入段的频率是0.0005×500=0.25， ∴根据频数=频率×样本容量， ∴在[3500，4000）收入段应抽出人数为0.25×100=25， 故答案为：3400；25． 【点评】本题考查了频率分布直方图与抽样方法中的分层抽样，解题的关键是从直方图中求得相应收入段的频率，再根据分层抽样的规则计算出样本中本收入段应抽的人数．属于基础题． 12. 已知向量，，则||的最大值为                     ． 参考答案： 13. 已知函数 既有极大值又有极小值，则实数的取值范围是_________________． 参考答案： 略 14. 在等比数列中，a2＝2，且，则的值为_______． 参考答案： 5 【知识点】等比数列 【试题解析】在等比数列中， 由 得：解得：或 所以 故答案为： 15. 在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为　    　． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，即可求出的值． 【解答】解：如图所示， 设AB∩DC=O，∵ =++=+， =++=+， 两式相加得=； ∵AB=，EF=1，CD=， 平方得1=； ∴=﹣； 又∵=15， 即（﹣）（﹣）=15； ∴﹣﹣+=15， ∴+=15++， ∴=（﹣）（﹣）=﹣﹣+ =（15++）﹣﹣ =15+（﹣）+（﹣） =15++ =15+（﹣） =15+ =15﹣ =15﹣（﹣） =． 故答案为：． 【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目． 16. 设Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，且Sn=an（an+3），则数列{an}的通项公式为　   　． 参考答案： an=3n 【考点】数列递推式． 【分析】根据数列的前n项和通项公式之间的关系，即可得到结论． 【解答】解：当n=1时，，解得a1=3； 当n≥2时，， 整理，得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）=0． 因为an＞0，所以an﹣an﹣1﹣3=0，即an﹣an﹣1=3， 所以{an}是以3为首项，3为公差的等差数列，所以an=3+3（n﹣1）=3n，即an=3n． 故答案为：an=3n． 17. 设P，Q分别为圆x2+y2﹣8x+15=0和抛物线y2=4x上的点．则P，Q两点间的最小距离是　 　． 参考答案： 2﹣1   【考点】抛物线的简单性质． 【分析】由题意可得圆的圆心和半径，由二次函数可得P与圆心距离的最小值，减半径即可． 【解答】解：∵圆x2+y2﹣8x+15=0可化为（x﹣4）2+y2=1， ∴圆的圆心为（4，0），半径为1， 设P（x0，y0）为抛物线y2=4x上的任意一点， ∴y02=4x0，∴P与（4，0）的距离d==， ∴由二次函数可知当x0=2时，d取最小值2， ∴所求最小值为：2﹣1． 故答案为：2﹣1． 【点评】本题考查两点间的距离公式，涉及抛物线和圆的知识，属中档题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，且|PF1|﹣|PF2|=2，则△PF1F2的面积为（　　） 　 A． 24 B． 24 C． 48 D． 48 参考答案： B 略 19. （12分）设函数 (1) 若x=2是函数f(x)的极值点，1和是函数的两个不同零点，且，求。 (2) 若对任意, 都存在(e 为自然对数的底数)，使得成立，求实数的取值范围。 参考答案： （Ⅰ），∵是函数的极值点，∴.∵1是函数的零点，得， 由解得.   ∴,， 令，，得；   令得， 所以在上单调递减；在上单调递增. 故函数至多有两个零点，其中， 因为， ，所以，故． （Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，根据题意，对任意，都存在，使得成立，则在有解， 令，只需存在使得即可， 由于=， 令，， ∴在(1，e)上单调递增，， ①当，即时，，即，在(1，e)上单调递增，∴，不符合题意. ②当，即时，， 若，则，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上单调递减, 20. （本小题满分14分）     如图，在棱长为1的正方体A中，E、F分别为和的中点．     （1）求异面直线AF和BE所成的角的余弦值：     （2）求平面AC与平面BF所成的锐二面角：     （3）若点P在正方形ABCD内部或其边界上，且EP∥平面BF，求EP的取值范围． 参考答案： 解:（1）以D为原点,DA,DC,DD1分别为轴,建立如图所示的直角坐标系,则，，，.………………………2分    , ………………………4分 ∴所求的锐二面角为  ……………………………….9分   (3)设（） ，由得 即， ……………………………………………………………….12分 当时， 当时，∴, 故EP的取值范围为.………………..……14分 21. 已知函数，. （I）求函数的最大值； （II）当时，函数有最小值，记的最小值为，求函数的值域. 参考答案： （I）的定义域为，.             当时，，单调递增；             当时，，单调递减.             所以当时，取得最大值.        4分 （II），由（I）及得： ①若，，，单调递减， 当时，的最小值.          6分 ②若，，， 所以存在，且， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的最小值.  9分 令，. ， 当时，，所以在单调递减，此时，即 .                                11分 由①②可知，的值域是.               12分 22. （本小题共14分） 如图，在菱形中，，是的中点， ⊥平面，且在矩形中，，． （Ⅰ）求证：⊥； （Ⅱ）求证： // 平面； （Ⅲ）求二面角的大小.   参考答案： 解：（Ⅰ）连结，则. 由已知平面， 因为， 所以平面.……………………2分 又因为平面， 所以.……………………4分 （Ⅱ）与交于，连结.     由已知可得四边形是平行四边形， 所以是的中点. 因为是的中点， 所以.…………………………7分 又平面， 平面， 所以平面. ……………………………………………………………9分 （Ⅲ）由于四边形是菱形，是的中点，可得. 如图建立空间直角坐标系，则，, ， . ，.…………………………………………10分 设平面的法向量为. 则  所以  令. 所以.……………………………………………………………12分 又平面的法向量， 所以. 所以二面角的大小是60°. ………………………………………14分