河南省商丘市永城光明高级中学高三数学理期末试题含解析

河南省商丘市永城光明高级中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，，成等差数列，则＝（   ）     A．1＋         B．1－           C．3＋2         D．3－2 参考答案： C 2. 已知实数 满足>0，且，则xy取值的范围是(　　) A.       B．       C．        D． 参考答案： D 3. 已知函数的反函数 ，则的图象    （     ） A．关于点对称                      B．关于点对称             C．关于点对称                      D．关于点对称 参考答案： B 4. 计算1og5＋所得的结果为     (A) 　　　(B)2　　　 (C) 　　　　(D) 1 参考答案： D 略 5. 下列结论中正确的是（    ） ①命题：的否定是； ②若直线上有无数个点不在平面内，则； ③若随机变量服从正态分布，且，则； ④等差数列的前n项和为，若，则 A．①②      B．②③      C．③④     D．①④ 参考答案： D 6. 命题p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga（x﹣1）的图象过点（2，0），命题q：?x∈N，x3＜x2．则（　　） A．p假q假 B．p真q假 C．p假q真 D．p真q真 参考答案： B 【考点】2K：命题的真假判断与应用；4N：对数函数的图象与性质． 【分析】根据指数函数的单调性及幂函数图象和性质，分析命题p，q的真假，可得答案． 【解答】解：当x=2时，loga（x﹣1）=loga1=0恒成立， 故命题p：?a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=loga（x﹣1）的图象过点（2，0），为真命题； ?x∈N，x3≥x2恒成立，故命题q：?x∈N，x3＜x2为假命题， 故选：B 7. 设函数f（x）（xR）满足f（－x）＝f（x），f（x）＝f（2－x），且当x［0,1］时，f（x）＝x2，又函数g（x）＝｜xcos（x）｜，则函数h（x）＝g（x）－f（x）在上的零点个数为 　　A、5　　B、6　　C、7　　D、8 参考答案： B 8. 已知{an}是等比数列，则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件     D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：在等比数列﹣1，2，﹣4，8…中，满足a2＜a4，但“{an}是单调递增数列不成立，即充分性不成立， 若{an}是单调递增数列，则必有a2＜a4，即必要性成立， 则“a2＜a4”是“{an}是单调递增数列”的必要不充分条件， 故选：B． 9. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在球O的球面上，且AB=AC=1，BC=，若球O的体积为，则这个直三棱柱的体积等于（　　） A． B． C．2 D． 参考答案： B 【考点】球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据直三棱柱的性质和球的对称性，得球心O是△ABC和△A1B1C1的外心连线段的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C．在△ABC中利用正、余弦定理算出O1A=1，由球O的体积算出OA=，然后在Rt△O1OA中，用勾股定理算出O1O=2，得三棱柱的高O1O2=4，最后算出底面积S△ABC=，可得此直三棱柱的体积． 【解答】解：设△ABC和△A1B1C1的外心分别为O1、O2，连接O1O2， 可得外接球的球心O为O1O2的中点，连接OA、OB、OC、O1A、O1B、O1C △ABC中，cosA==﹣ ∵A∈（0，π），∴A= 根据正弦定理，得△ABC外接圆半径O1A==1 ∵球O的体积为V==，∴OA=R= Rt△O1OA中，O1O==2，可得O1O2=2O1O=4 ∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积S△ABC=AB?ACsin= ∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为S△ABC×O1O2= 故选：B 【点评】本题给出直三棱柱的底面三角形的形状和外接球的体积，求此三棱柱的体积，着重考查了球的体积公式式、直三棱柱的性质和球的对称性等知识，属于中档题． 10. 在封闭的正三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB＝6，AA1＝4，则V的最大值是（     ） A．16π         B．        C．12π          D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 能说明“已知，若对任意的恒成立，则在[0,2]上，为假命题的一个函数g(x)_____?（填出一个函数即可） 参考答案： x 【分析】 可以根据这个不等式入手，令，当时，而，显然是假命题，当然这样的函数有好多，比如 ，等等. 【详解】因为，所以令，当时，而，所以是假命题，当然，也可以. 【点睛】本题考查了两个函数大小恒成立问题的判断，本题如果改成逆命题，就成立，也就是若对任意的有成立，那么当时，恒成立. 12. 已知， 则BC=___________ 参考答案： 略 13. （2013?松江区一模）集合A={0，2，a}，B={1，a2}，若A∪B={0，1，2，4，16}，则a的值为　　． 参考答案： 4 略 14. 若函数对于函数，现给出四个命题： ①时，为奇函数 ②的图象关于对称 ③时，方程有且只有一个实数根 ④方程至多有两个实数根 其中正确命题的序号为                     . 参考答案： ①②③ 若，则，为奇函数，所以①正确。由①知，当时，为奇函数图象关于原点对称，的图象由函数向上或向下平移个单位，所以图象关于对称，所以②正确。当时，，当，得，只有一解，所以③正确。取，，由，可得有三个实根，所以④不正确，综上正确命题的序号为①②③。 15. 如果一个平面与一个圆柱的轴成（）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆. 当时，椭圆的离心率是      .  参考答案： 16. 设数列满足，点对任意的，都有向量 ，则数列的前项和             . 参考答案： 【知识点】数列的求和．D4 解析：∵Pn（n，an），∴Pn+1（n+1，an+1），故， 则，∴是等差数列，公差d=2，根据，解得，所以 ，故答案为。 【思路点拨】通过向量的坐标运算，得到数列的递推公式进而求和． 17. 一个无穷等比数列的公比为q，满足0，前项和为，且它的第4项与第8项之和等与，第5项与第7项之积等与，则=_________________。 参考答案： 答案:32 解析:由题设知，又0＜q＜1则得，∴ 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分） 若数列的前项和为，对任意正整数都有. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和   参考答案： （1）；（2）   【知识点】数列的求和；对数的运算性质；数列与不等式的综合 解析：(1)由，得，解得．   …………2分 由          ……①， 当时，有 ……②，　　           …………3分 ①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　…………4分 数列是首项，公比的等比数列　　　　…………5分 ，　　　　　　　　　…………6分 （2）由（1）知．…………7分 　　　　　　　　 所以…………9分 当为偶数时， …………11分 当为奇数时，   所以…………13分 【思路点拨】（1）由，得，解得，当时，有，两式相减可得数列是首项，公比的等比数列，进而得到通项公式；（2）根据条件得到的通项，然后对n分类讨论即可得到.   19. 已知函数，其中． （Ⅰ）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值； （Ⅱ）求函数的单调区间. 参考答案： 解：(Ⅰ)由可知，函数定义域为， 且.由题意，， 解得.……………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）.    令，得，. （1）当时，，令，得;令，得. 则函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当，即时，令，得或. 则函数的单调递增区间为，. 令，得. 则函数的单调递减区间为. （3）当，即时，恒成立，则函数的单调递增区间为. （4）当，即时，令，得或， 则函数的单调递增区间为，. 令，得. 则函数的单调递减区间为.  ……………………………………13分   略 20. （本小题满分10分）不等式选讲     已知函数f（x）＝|x－2|，g（x）＝－|x＋3|＋m．     （Ⅰ）解关于x的不等式f（x）＋a－1>0（a∈R）；     （Ⅱ）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值范围． 参考答案： （1）不等式f（x）＋a－1>0，即|x－2|＋a－1>0， 当a＝1时，解集为x≠2，即（－∞，2）∪（2，＋∞）； 当a>1时，解集为全体实数R； 当a<1时，∵|x－2|>1－a，∴x－2>1－a或x－23－a或x－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立． 又对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|（x－2）－（x＋3）|＝5，于是得m<5， 即m的取值范围是（－∞，5）． 21. （本小题满分14分）已知椭圆C：（a＞b＞0）与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），F为左焦点，原点O到直线FA的距离为b． （Ⅰ）求椭圆C的离心率； （Ⅱ）设b=2，直线y=kx+4与椭圆C交于不同的两点M，N，求证：直线BM与直线AN的交点G在定直线上． 参考答案： （Ⅰ）（Ⅱ）见解析  【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．菁H5 H8 解析：（Ⅰ）设F的坐标为(–c，0)，依题意有bc=ab， ∴椭圆C的离心率e==．                   …………3分 （Ⅱ）若b=2，由（Ⅰ）得a=2，∴椭圆方程为． …………5分 联立方程组 化简得：(2k2+1)x2+16kx+24=0， 由△=32(2k2–3)＞0，解得：k2＞ 由韦达定理得：xM+xN= …①，xMxN= …②  …………7分 设M(xM，kxM+4)，N(xN，kxN+4)， MB方程为：y=x–2，……③ NA方程为：y=x+2，……④                       …………9分 由③④解得：y=                    …………11分 ===1 即yG=1， ∴直线BM与直线AN的交点G在定直线上．                …………14分 【思路点拨】（Ⅰ）设F的坐标为（﹣c，0），原点O到直线FA的距离为b，列出方程，即可求解椭圆的离心率．（Ⅱ）求出椭圆方程，联立方程组，通过韦达定理，设M（xM，kxM+4），N（xN，kxN+4），求出MB方程，NA方程，求出交点坐标，推出结果． 22. 已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且