2022年河南省洛阳市大口乡浮阳中学高二数学理测试题含解析

2022年河南省洛阳市大口乡浮阳中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的定义域为D，若满足①在D内是单调函数；②存在使在上的值域为，那么就称为“成功函数”，若函数，（）是“成功函数”，则t的取值范围是     （    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由，（）是“成功函数”，知在其定义域内为增函数，由题意得，故，由此能求出t的取值范围． 【详解】∵，（）是“成功函数”，当时，f（x）在其定义域内为增函数， 当时，f（x）在其定义域内为增函数，∴f（x）在其定义域内为增函数， 由题意得，∴，，令， ∴ 有两个不同的正数根，∴，解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程解的个数判断，函数单调性的应用，转化思想，属于中档题． 2. 定义域为R的可导函数的导函数，满足，且，则不等式的解集为（  ） A. (1,+∞) B. (－∞,2) C. (－∞,1) D. (2,+∞) 参考答案： A 【分析】 构造函数，判断函数的单调性，计算特殊值，解得不等式值. 【详解】构造函数 因为单调递减. 故答案选A 【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，构造函数是解题的关键. 3. 已知实数a满足，则函数的零点在下列哪个区间内 A.(－2,－1) B. (－1,0) C. (0,1) D. (1,2) 参考答案： B 【分析】 由3a＝5可得a值，分析函数为增函数，依次分析f（﹣2）、f（﹣1）、f（0）的值，由函数零点存在性定理得答案． 【详解】根据题意，实数a满足3a＝5，则a＝log35＞1， 则函数为增函数， 且f（﹣2）＝（log35）﹣2+2×（﹣2）﹣log53＜0， f（﹣1）＝（log35）﹣1+2×（﹣1）﹣log53＝﹣2＜0， f（0）＝（log35）0﹣log53＝1﹣log53＞0， 由函数零点存在性可知函数f（x）的零点在区间（﹣1，0）上， 故选：B． 【点睛】本题考查函数零点存在性定理的应用，分析函数的单调性是关键． 4. 已知函数是定义在实数集R上的奇函数，且成立（其中的导函数），若，，，则，，的大小关系是(    )    A. B. C. D. 参考答案： A 5. 函数有                        （         ） A．极大值，极小值           B．极大值，极小值 C．极大值，无极小值             D．极小值，无极大值 参考答案： C 6. 已知双曲线的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为(　　) 参考答案： A 7. 某产品的广告费用万元与销售额万元的统计数据如下表： 广告费用x（万元） 4 2 3 5 销售额y（万元） 49 26 39 54 根据上表可得回归直线方程中为，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为 A  万元    B 万元  C 万元       D 万元 参考答案： B 略 8. 在中，若,,则是          （      ） A．等腰三角形         B．等边三角形      C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 参考答案： D 9. 经过抛物线的焦点,且斜率为的直线方程为（   ） A．  B． C． w.w.w.k.s.5 u.c.o.m D． 参考答案： D 略 10. 将函数的图象向左平移个单位所得到的图象的解析式为（　　） A．.y=sin2x B．.y=﹣sin2x C．.y=cos2x D．y=﹣2cosx 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论． 【解答】解：将函数的图象向左平移个单位所得到的图象的解析式为 y=sin[2（x+）﹣]=sin2x， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知离散型随机变量X的分布列为 X X P 1 2 3 P 则X的数学期望E（X）=　　． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【分析】利用离散型随机变量的分布列求解． 【解答】解：由题意知： E（X）==． 故答案为：． 12. 甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，只有其中一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是丙获奖”．乙说：“是丙或丁获奖”．丙说：“乙、丁都未获奖”．丁说：“我获奖了”．四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是　　． 参考答案： 丁 【考点】F4：进行简单的合情推理． 【分析】这是一个简单的合情推理题，我们根据“四位歌手的话只有两句是对的”，假设某一个人说的是真话，如果与条件不符，说明假设不成立，如果与条件相符，则假设成立的方法解决问题． 【解答】解：若甲对，则乙和丙都对，故甲错； 若甲错乙对，则丙错丁对，此时成立，则获奖选手为丁； 若甲错乙错，则丁错，不成立． 故获奖选手为丁． 故答案为：丁． 13. 在等差数列中已知，a7=8，则a1=_______________ 参考答案： 10 14. 若函数的图象在处的切线与圆相切，则的最大值为　　　　　　． 参考答案： 15. 若直线过圆的圆心，则a的值为_____________ 参考答案： 16. 4个实习老师分配到高中三个年级实习，则每个年级至少有1个实习老师的概率为_________ 参考答案： 略 17. 直线上与点的距离等于的点的坐标是__   参考答案： ,或  三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）某调查公司在某服务区调查七座以下小型汽车在某段高速公路的车速（km/t），办法是按汽车进服务区的先后每间隔50辆抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问，将调查结果按[60，65）[65，70）[70，75）[75，80），[80，85）[85，90）分成六段，并得到如图所示的频率分布直方图． （1）试估计这40辆小型车辆车速的众数和中位数． （2）若从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆，求抽出的2辆车中至少有一辆的车速在[65，70）的概率． 参考答案： （Ⅰ）众数的估计值为最高矩形的中点， ∴众数的估计值为：=77.5． 设图中虚所对应的车速为中位数的估计值x， 则0.01×5+0.02×50.004×5+0.06×（x﹣75）=0.5， 解得x=77.5， ∴中位数的估计值为77.5． （Ⅱ）从频率分布直方图中知，车速在[60，65）的车辆数为0.01×5×40=2辆， 车速在[65，70）的车辆数为0.02×5×40=4辆， ∴从车速在[60，70）的车辆中任抽取2辆， 抽出的2辆车中至少有一辆的车速在[65，70）的概率： p=1﹣=． 19. 已知指数函数满足：，定义域为的函数是奇函数。（1）求的解析式； （2）求m，n的值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： （1）     （2）由（1）知：，因为是奇函数，所以=0，即  ∴， 又由f（1）= -f（-1）知   （3）由（2）知，易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：   等价于， 因为减函数，由上式推得：，即对一切有：，从而判别式  略 20. 2019年4月26日，铁人中学举行了盛大的成人礼.仪式在《相信我们会创造奇迹》的歌声中拉开序幕，庄严而神圣的仪式感动了无数家长，4月27日，铁人中学官方微信发布了整个仪式精彩过程，几十年众志成城，数十载砥砺奋进，铁人中学正在创造着一个又一个奇迹．官方微信发布后，短短几个小时点击量就突破了万人，收到了非常多的精彩留言.学校从众多留言者中抽取了100人参加“学校满意度调查”，其留言者年龄集中在[25,85]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下： （Ⅰ）求这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差S2（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，留言者年龄x服从正态分布，其中近似为样本均数，近似为样本方差． (ⅰ)利用该正态分布，求； （ii）学校从年龄在[45,55]和[65,75]的留言者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“精彩留言”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[45,55]的人数是Y，求变量Y的分布列和数学期望．附：，若，则，. 参考答案： （Ⅰ）60，180；（Ⅱ）(ⅰ)；（ii）. 【分析】 （Ⅰ）利用频率分布图中的平均数公式和方差公式求这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差；（Ⅱ）(ⅰ)利用正态分布的图像和性质求；（ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3，再求概率，写分布列求期望得解. 【详解】(Ⅰ)这100位留言者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ， ， (Ⅱ)（i）由（Ⅰ）知，， 从而； （ii）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在内有3人，在内有4人，故可能的取值为0，1，2，3 ，， ，. 所以的分布列为 Y 0 1 2 3 P     所以Y的数学期望为. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图中平均数和方差的计算，考查正态分布，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 21. （16分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，短轴两个端点为A、B，且四边形F1AF2B是边长为2的正方形． （1）求椭圆的方程； （2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P．证明：为定值． （3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（1）由题意知a=2，b=c，b2=2，由此可知椭圆方程为． （2）设M（2，y0），P（x1，y1），，直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4，得，然后利用根与系数的关系能够推导出为定值． （3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP．，再由，由此可知存在Q（0，0）满足条件． 【解答】解：（1）a=2，b=c，a2=b2+c2，∴b2=2； ∴椭圆方程为 （2）C（﹣2，0），D（2，0），设M（2，y0），P（x1，y1）， 直线CM：，代入椭圆方程x2+2y2=4， 得 ∵x1=﹣，∴，∴，∴ ∴（定值） （3）设存在Q（m，0）满足条件，则MQ⊥DP 则由，从而得m=0 ∴存在Q（0，0）满足条件（14分） 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答． 22. 已知直线经过椭圆 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m    的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。    （I）求椭圆的方程；    （Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；    （Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这 样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由 参考答案： 解析： （I）由已知得，椭圆的左顶点为上顶点为       故椭圆的方程为