湖北省鄂州市梅川中学高三数学理测试题含解析

湖北省鄂州市梅川中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在中，角A，B，C的对边分别为若，则角B的值为 A.        B.        C.      D. 参考答案： 由余弦定理，得，即，由，知角.选. 2. 设a＞0，b＞0．[ A．若，则a＞b B．若，则a＜b C．若，则a＞b D．若，则a＜b 参考答案： A 若，必有．构造函数：，则恒成立，故有函数在x＞0上单调递增，即a＞b成立．其余选项用同样方法排除． 3. 过双曲线 的左焦点 ，作圆 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 ，则双曲线的离心率为   A.            B．          C.             D． 参考答案： C 4. 不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ）    A .      B.          C.         D. 参考答案： B 略 5. 设集合M={﹣1，1}，N={x|＜2}，则下列结论正确的是（　　） A．N?M B．M?N C．M∩N=N D．M∩N={1} 参考答案： B 【分析】化简集合N，即可得出结论． 【解答】解：∵M={﹣1，1}，N={x|＜2}={x|x＜0或x＞}， ∴M?N， 故选B． 6. 若，则  A．          B．         C．            D． 参考答案： A 7. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 （   ） A．4种  B．10种           C．18种 D．20种 参考答案： B 8. 不等式的解集为 A.    B.    C.    D. 参考答案： C 略 9. 如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是 (A)          (B)      (C)  1      (D)  2 参考答案： A 由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选A. 10. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为(    )  A  y=cos2x，xR       B.   y=log2|x|，xR且x≠0  C. y=，xR     D. ，xR     参考答案： B A,B为偶函数，C为奇函数，D为非奇非偶函数，排除C,D.当时，单调递增，选B. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在的展开式中，含项的系数是_________． 参考答案： 12. 若{an}是等比数列，且公比，，则an =______． 参考答案： 【分析】 根据等比数列的通项公式先求出首项,即可求得. 【详解】因为是等比数列, 公比，, 故, 解得, ∴, 故答案为： 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式公式,考查了整体运算思想,属基础题． 13. 对某校400名学生的体重（单位：）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60以上的人数为              . 参考答案： 100 略 14. 在中，角的对边分别为a，b，c.已知，且a，b，c成等比数列. 则                   . 参考答案： 15. 在中，若，则的最大值   　  ． 参考答案： 【知识点】半角公式；余弦定理；最值问题.C6 C8   而在中，有 ，令 ，，两式联立可得：， 易知此方程有解，故，解得，故答案为。 【思路点拨】先根据已知条件利用半角公式化简可得，然后结合余弦定理得到关系式，再令，联立结合方程有解的条件即可求出最大值。 16. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答） 参考答案： 展开式中含项为． 17. 已知直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值． 参考答案： 【考点】直线和圆的方程的应用；简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程． 【分析】首先把直线和圆的极坐标方程利用两角差的正弦函数的公式代入x=ρcosθ，y=ρsinθ和化简为平面直角坐标系中的直线方程，利用三角函数的基本关系及化简得到圆的一般式方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后即可求出曲线上P到直线l的距离的最大值． 【解答】解： ∴ 由得x2+y2=4 ∴圆心到直线l的距离 所以，P到直线l的距离的最大值为d+r=5?? 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分） 已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，． （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围． 参考答案： 解答 （Ⅰ）由已知，， ，， ∵，则，∴，∴， 解得，，∴双曲线的方程为．··········································· 4分 （Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、， 由得，则 解得．     ①·················································································· 6分 ∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则， ，解得．  ② 由①、②得实数k的范围是，······························································· 8分 由已知，∵B在A、Q之间，则，且， ∴，则，∴ 则，································································ 10分 ∵，∴，解得，又，∴． 故λ的取值范围是．  13分 19. （本小题满分12分） 生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下： 测试指标 元件甲 8 12 40 32 8 元件乙 7 18 40 29 6 （1）试分别估计元件甲、乙为正品的概率； （2）生产一件元件甲，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件乙，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元。在（1）的前提下； ①记为生产1件甲和1件乙所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望； ②求生产5件元件乙所获得的利润不少于140元的概率. 参考答案： （1） ；（2）（i）66；（ii） 试题解析：（1）元件甲为正品的概率约为：， 元件乙为正品的概率约为：. （2）①随机变量的所有取值为90，45，30，，而且 ；； ；； 所以随机变量的分布列为： 90 45 30   所以：. ②设生产的5件元件乙中正品有件，则次品有件， 依题意，，解得：，所以或， 设“生产5件元件乙所获得的利润不少于140元”为事件，则： . 考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【方法点睛】1．求离散型随机变量的分布列的关键是分析清楚随机变量的取值有多少，并且正确求出随机变量所取值对应的概率．2．在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解． 20. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲     (1)设函数 ．求不等式 的解集． (2)若a,b,c都为正实数，且满足a+b+c=2．证明： ． 参考答案： 21. （14分） 如图,在直三棱柱中,,为中点. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)求证: ∥平面 ; (Ⅲ)求二面角的大小. 参考答案： 解析：解法一: (Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为. 由可得. 所以.     ………………..4分 (Ⅱ)设与交于点则为中点. 在中, 连结,分别为的中点, 故为的中位线, ∥,又平面,平面, ∥平面.                                      ………………9分 (Ⅲ)过作于,连结. 由底面可得. 故为二面角的平面角. 在中,, 在Rt中, 二面角的大小为 .  ……………………………………14分   解法二 直三棱柱,底面三边长, 两两垂直. 如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系, 则.   (Ⅰ),    ,故.                …………….4分  (Ⅱ)同解法一 ……………………………………………………………..………..9分 (Ⅲ)平面的一个法向量为, 设平面的一个法向量为, ,, 由得 令,则. 则. 故＜＞=. 二面角的大小为.  ……………………………….14分 22. （本小题满分14分）      设函数．      (Ⅰ)当a=2时，求的极值；     (II)令,若其图象上存在一点,使得以P为切点的切线斜率成立，求实数a的取值范围；   (III)当a=0时，方程有唯一实数解,求正数的值． 参考答案：