湖北省荆州市石首城南高级中学高三数学理月考试题含解析

湖北省荆州市石首城南高级中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若0＜b＜a＜1则下列结论不一定成立的是(     ) A．＜ B．＞ C．ab＞ba D．logba＞logab 参考答案： D 【考点】对数值大小的比较． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据不等式的性质判断A，B，根据指数函数和对数函数的单调性即可判断． 【解答】解：∵0＜b＜a＜1， ∴＜，＞，故A，B成立 ab＞aa=bb＞ba，故C成立， logba＜logbb=1=logaa＜logab，故D不成立， 故选：D． 【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性和不等式的性质，属于基础题． 2. 为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 （A）1（B）8（C）12（D）18 参考答案： C 3. 如图所示，f（x）是定义在区间[﹣c，c]（c＞0）上的奇函数，令g（x）=af（x）+b，并有关于函数g（x）的四个论断： ①对于[﹣c，c]内的任意实数m，n（m＜n），恒成立； ②若b=0，则函数g（x）是奇函数； ③若a≥1，b＜0，则方程g（x）=0必有3个实数根； ④若a＞0，则g（x）与f（x）有相同的单调性． 其中正确的是（　　） 　 A． ②③ B． ①④ C． ①③ D． ②④ 参考答案： D 略 4. 设条件：，条件，则条件是条件的 A. 充要条件                        B. 充分不必要条件  C. 必要不充分条件                  D. 既不充分也不必要条件 参考答案： B 5. （3分）双曲线﹣=1的焦点到渐近线的距离为（　　） 　 A． 2 B． 2 C． D． 1 参考答案： 考点： 双曲线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先根据双曲线方程求得焦点坐标和渐近线方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到渐近线的距离． 解答： 双曲线﹣=1的焦点为（4，0）或（﹣4，0）． 渐近线方程为y=x或y=﹣x． 由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等， d==2． 故选A． 点评： 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质和点到直线的距离公式．考查了考生对双曲线标准方程的理解和灵活应用，属基础题． 6. 函数在其定义域内可导，若，且当时，有设则                                    A．        B．        C．        D． 参考答案： C 7.   变量、满足条件 ，则的最小值为 A．           B．       C．       D． 参考答案： D 8. 有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(    ) A B C D 参考答案： A 9. i是虚数单位，若集合S={﹣1，0，1}，则（    ） A．i∈S       B．i2∈S       C．i3∈S        D． 参考答案： B 略 10. 已知命题：函数在R为增函数，   ：函数在R为减函数， 则在命题：，：，：和：中，真命题是。 （A），        （B），      （C），        （D）， 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知扇形的半径为4，弧所对的圆心角为2 rad，则这个扇形的面积为       . 参考答案： 16 12. 已知奇函数f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则f（﹣9）=　        　． 参考答案： -2 【考点】奇偶函数图象的对称性；函数的值． 【分析】先由图象关于直线x=﹣2对称得f（﹣4﹣x）=f（x），再与奇函数条件结合起来，有f（x+8）=f（x），得f（x）是以8为周期的周期函数，从而f（﹣9）=﹣f（1），从而求出所求． 【解答】解；∵图象关于直线x=﹣2对称 ∴f（﹣4﹣x）=f（x） ∵f（x）是奇函数 ∴f（﹣x）=﹣f（x） ∴f（﹣4﹣x）=﹣f（﹣x）， 即﹣f（﹣4+x）=f（x）， 故f（x﹣8）=f[（x﹣4）﹣4]=﹣f（x﹣4）=f（x）， 进而f（x+8）=f（x） ∴f（x）是以8为周期的周期函数． f（﹣9）=﹣f（1）=﹣2 故答案为：﹣2 13. 集合且的元素个数是         ． 参考答案： 317    14. 已知幂函数y=xa的图象过点（3，9），则的展开式中x的系数为　　． 参考答案： 112 【考点】二项式系数的性质；幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】直接利用幂函数求出a的值，然后求出二项式展开式中所求项的系数． 【解答】解：幂函数y=xa的图象过点（3，9）， ∴3a=9， ∴a=2， ∴=（﹣）8的通项为Tr+1=（﹣1）rC8r28﹣rx， 令r﹣8=1， 解得r=6， 展开式中x的系数为（﹣1）6C8628﹣6=112， 故答案为：112． 【点评】本题考查二项式定理的应用，幂函数的应用，考查计算能力． 15. 已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是       ． 参考答案： （﹣1，﹣1） 考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法． 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 分析：由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可． 解答： 解：由题意，可得 故答案为： 点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力． 16. 若两个非零向量满足，则 向量与的夹角为__________。 参考答案： 略 17. 函数y=的最小值是　　． 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义． 【分析】将函数化为y=（+）+，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x的取值要一致，即可得到所求最小值． 【解答】解：函数y== =+ =（+）+ ≥2+=． 当且仅当=，即有x=0，取得等号． 则函数的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. PA垂直于⊙O所在平面，B在⊙O上，AC是直径，AE⊥BP于E点 （1）求证：AE⊥面PBC； （2）若PA=AB=BC=6，求点B到平面AEO的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）PA垂直于⊙O所在平面，可得PA⊥BC．进而定点BC⊥平面PAB，BC⊥AE，即可证明：AE⊥面PBC． （2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AEO的法向量为=（x，y，z），则，可得，可得点B到平面AEO的距离=． 【解答】（1）证明：∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥BC． 又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB． ∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE， 又AE⊥BP，BP∩BC=B，∴AE⊥面PBC． （2）解：如图所示，建立空间直角坐标系． ∵PA=AB=BC=6，∴A（0，0，0），O（0，3，0），B（3，3，0）， P（0，0，6），E， ∴=（0，3，0），=， =（3，3，0）． 设平面AEO的法向量为=（x，y，z），则，即，取=． ∴点B到平面AEO的距离===2． 19. 已知函数在上单调递减且满足 （1）求实数的取值范围 （2）设，求在上的最大值和最小值. 参考答案： （1）;（2）当时，，；当时，， 当，；当，， 当，， 试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（3）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到； （2）解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值,求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得，（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论. 试题解析：解：（1） 在上恒成立 即在上恒成立 当时开口向上 当时不合题意 当时在上恒成立 综上 （2）， ①当时恒成立，所以在上单调递增 ②当时，在上恒成立，所以在上单调递减 当时， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增 2）当时， 在上单调递增，在上单调递减 当时， 当时. 考点：1、利用函数的单调性求参数的取值范围；2、求函数在闭区间上的最值. 20. 在极坐标系下，知圆O：ρ=cosθ+sinθ和直线． （1）求圆O与直线l的直角坐标方程； （2）当θ∈（0，π）时，求圆O和直线l的公共点的极坐标． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）圆O的极坐标方程化为ρ2=ρcosθ+ρsinθ，由此能求出圆O的直角坐标方程；直线l的极坐标方程化为ρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出直线l的直角坐标方程． （2）圆O与直线l的直角坐标方程联立，求出圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点，由此能求出圆O和直线l的公共点的极坐标． 【解答】解：（1）圆O：ρ=cosθ+sinθ，即ρ2=ρcosθ+ρsinθ， 故圆O的直角坐标方程为：x2+y2﹣x﹣y=0， 直线，即ρsinθ﹣ρcosθ=1， 则直线的直角坐标方程为：x﹣y+1=0． （2）由（1）知圆O与直线l的直角坐标方程， 将两方程联立得，解得． 即圆O与直线l的在直角坐标系下的公共点为（0，1）， 转化为极坐标为． 21. 在中,分别为内角所对的边，且满足. (1)求的大小； (2)现给出三个条件：①； ②；③. 试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择并以此为依据求的面积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) . 参考答案： 解:(Ⅰ)依题意得,即    ∵,    ∴,    ∴,   ∴ ． ----6分 (Ⅱ)方案一：选择①②   由正弦定理，得,  ． . ---------12分 略 22. （本小题满分12分） 已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2经过椭圆Γ∶ (a>b>0)的右焦点F和上顶点B. (1)求椭圆Γ的方程； (2)如图，过原点O的射线与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点， 求的最大值．   参考答案：