2022-2023学年浙江省丽水市文轩中学高三数学文联考试题含解析

2022-2023学年浙江省丽水市文轩中学高三数学文联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知定义在R上的函数是偶函数，对 时，的值为（    ）     A．2    B．－2  C．4    D．－4 参考答案： B 2. 已知抛物线的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且，则 A.4 B.8 C.16 D.32    参考答案： B 略 3. 在已知椭圆：的左右焦点分别为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A.      B.     C.       D. 参考答案： A 略 4. 从2、3、5、7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数是 A．          B．          C．            D． 参考答案： C 略 5. 已知公差不为0的等差数列{an}，前n项和为Sn，满足，且成等比数列，则（    ） A. 2 B. 6 C. 5或6 D. 12 参考答案： B 【分析】 将题设条件转化为基本量的方程组，求出基本量后可求. 【详解】设等差数列的公差为，则 ， 解得或（舍），故， 故选：B. 【点睛】等差数列或等比数列的处理有两类基本方法：（1）利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组，再运用基本量解决与数列相关的问题；（2）利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题． 6. 给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1 , 2 , 3 , … , 2011， 从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之和，最后一行只有一个数M，则这个数M是（） （A）       （B） （C）       （D） 参考答案： A 略 7. 若如下框图所给的程序运行结果为,那么判断框中应填入的关于的条件是（  ） A.            B.           C.          D. 参考答案： D 略 8. 已知函数f（x）=ax2﹣（3﹣a）x+1，g（x）=x，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，则实数a的取值范围是(     ) A．[0，3） B．[3，9） C．[1，9） D．[0，9） 参考答案： D 【考点】二次函数的图象；一次函数的性质与图象． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】对函数f（x）判断△=（3﹣a）2﹣4a＜0时，一定成立，可排除A与B，再对特殊值a=0时，若对于任一实数x，f（x）与g（x）至少有一个为正数，可得答案． 【解答】解：对于函数f（x），当△=（3﹣a）2﹣4a＜0时，即1＜a＜9，显然成立，排除A与B 当a=0，f（x）=﹣3x+1，g（x）=x时，显然成立，排除C； 故选D． 【点评】本题主要考查对一元二次函数图象的理解．对于一元二次不等式，一定要注意其开口方向、对称轴和判别式． 9. 设复数z满足（1+i）z=﹣2i，i为虚数单位，则z=（　　） A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i 参考答案： B 【考点】A5：复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：（1+i）z=﹣2i，则z===﹣i﹣1． 故选：B． 10. 函数在上零点的个数是（    ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 参考答案： C 【分析】 令，即，即，解得，再由，即可求解，得到答案． 【详解】由函数，令，即，即， 所以， 又由，所以， 即函数在上有4个零点，故选C． 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，以及三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记函数零点的定义，准确利用正切函数的性质求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中a,b,c分别是内角A,B,C的对边,D是AB上的三等分点(靠近点A),且,,则的最大值是_____________. 参考答案： 由及正弦定理得,整理得,所以.因为,所以,因为点是边上靠近点的三等分点,所以, 两边同时平方得,整理得,即,当且仅当时取等号,解得 ,所以的最大值是. 12. 已知平面向量=(3,1),=(x,?3),//,则x等于  ; 参考答案： ?9 略 13. 2008年高考福建省理科数学第11题是：“双曲线（）的两个焦点为、，若为其上一点，且，则双曲线离心率的取值范围为：A．（1，3）；B．（1，3]；C．（3，+∞）；D．[3，+∞）”其正确选项是B。若将其中的条件“”更换为“，且”，试经过合情推理，得出双曲线离心率的取值范围是        参考答案： 14. 已知函数f（x）＝x－［x］，其中［x］表示不超过实数x的最大整数，若关于x的方程f（x）＝kx＋k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是____________. 参考答案： 考点：根据函数图像求交点个数 15. 已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图 ②函数在上是减函数； ③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4； ④当时，函数有个零点； ⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个． 其中正确命题的序号是                            ． 参考答案： 略 16.  已知函数f(x)＝ax＋b (a>0且a≠1)的图象如图所示，则a＋b的值是________． 参考答案： －2 17. 语句： S=0 i=1 Do S=S+i i=i+2 Loop while S≤200 n=i－2 Output n        则正整数n=            . 参考答案： 29 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切. （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于P、Q两点（异于S），直线PS、QS分别交直线于A、B两点. 求证：A、B两点的纵坐标之积为定值. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【分析】 （Ⅰ）求出后可得椭圆方程. （Ⅱ）当直线的斜率不存在，计算可得两点的纵坐标之积为.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，，则，联立直线方程和椭圆方程，消去后利用韦达定理化简后可得定值. 【详解】解：（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切， 所以半径等于原点到直线的距离，，即. 由离心率，可知，且，得. 故椭圆的方程为.                                                           （Ⅱ）由椭圆的方程可知. 若直线的斜率不存在，则直线方程为， 所以. 则直线的方程为，直线的方程为. 令，得，. 所以两点的纵坐标之积为. 若直线的斜率存在，设直线的方程为, 由得， 依题意恒成立. 设， 则. 设， 由题意三点共线可知， 所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为. 所以 综上，两点的纵坐标之积为定值. 【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组，消元后得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系式中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值等问题. 19. 设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 参考答案： 解析：（Ⅰ）．    当（）时，，即； 当（）时，，即． 因此在每一个区间（）是增函数， 在每一个区间（）是减函数． （Ⅱ）令，则 ． 故当时，． 又，所以当时，，即． 当时，令，则． 故当时，． 因此在上单调增加． 故当时，， 即． 于是，当时，． 当时，有． 因此，的取值范围是． 20. （本小题满分16分）在平面直角坐标系中，点Q到点F（1，0）与到直线x=4的距离之比为. （1）求点Q的轨迹方程E； （2）若点，分别是轨迹的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是直线上不同于点的任意一点，直线交轨迹于点. （ⅰ）设直线的斜率为直线的斜率为，求证：为定值； （ⅱ）设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标. 参考答案： 21. （2016?邵阳二模）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中用分层抽样的方法抽取50名同学（男30，女20），给所选的同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一题进行解答，选题情况如表（单位：人）   几何体 代数题 总计 男同学 22 8 30 女同学 8 12 20 总计 30 20 50 （1）能否据此判断有97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关 （2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲乙解同一道几何题，求乙比甲先解答完成的概率 （3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的大题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期E（X） 附表及公式 P（k2≥k0） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.10 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.481 5.024 6.635 7.879 10.828 k2=． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）由表中数据，求出k2=，据此判断有97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． （2）设甲、乙解答同一道题的时间分别为x，y分钟，基本事件满足区域为，设事件A为“乙比甲先做完此题”，则满足的区域还要满足x＞y，由几何概型能求出乙比甲先解答完成的概率． （3）由题意知在8名女生中任意抽取2人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽取有种，恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种，X的可能取值有0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）． 【解答】解：（1）由表中数据，得： k2==， ∴据此判断有97%的把握认为视觉和空间能力与性别有关． （2）设甲、乙解答同一道题的时间分别为x，y分钟， 则基本事件满足区域为，如图所示： 设事件A为“乙比甲先做完此题”，则满足的区域还要满足x＞y， ∴由几何概型得乙比甲先解答完成的概率P（A）==． （3）由题意知在8名女生中任意抽取2人，抽取方法有种， 其中甲、乙两人没有一个人被抽取有种， 恰有一人被抽到有种，两人都被抽到有种， ∴X的可能取值有0，1，2， P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=， ∴X的分布列为： X 0 1 2 P E（X）==． 【点评】本题考查独立检验的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意几何概型的合理运用． 22. （本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)= |x+1|－|2x－3|. （I）画出y= f(x)