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湖南省郴州市和平中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数的部分图象如右图所示,设是
图象的最高点,是图象与轴的交点,则 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
2. 以下四个命题中:
①从匀速传递的产品生产流水线上,质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;
②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于;
③在某项测量中,测量结果服从正态分布,若位于区域内的概率为,则
位于区域内的概率为;
④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说,k越小,判断“与有关系”的把握越大.其中真命题的序号为 ( )
A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
参考答案:
D
3. 设,,,则下列关系中正确的是
A. B. C. D.
参考答案:
【知识点】对数函数的性质;比较大小.B7
【答案解析】A 解析:因为,同理可得:
,又因为是定义域内的增函数,且,所以
,故选A。
【思路点拨】先把b,c转化成以2为底的对数,再结合对数函数的单调性即可判断.
4. 已知则的最小值为( )
A B C D
参考答案:
C
略
5. 阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果是( )
A.3 B.38 C.11 D.123
参考答案:
C
6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
略
7. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为,则的最小值是
(A) (B) (C) (D)
参考答案:
B
8. 设a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a﹣2)x的导函数是f′(x),且f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为( )
A.y=4x B.y=3x C.y=﹣3x D.y=﹣2x
参考答案:
D
考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算.
专题:导数的概念及应用;直线与圆.
分析:求出函数的导数,由函数的奇偶性定义,可得a=0,求得切线的斜率,由点斜式方程即可得到切线方程.
解答: 解:函数f(x)=x3+ax2+(a﹣2)x的导函数是
f′(x)=3x2+2ax+a﹣2,
由f′(x)是偶函数,
即有f′(﹣x)=f′(x),
即为3x2﹣2ax+a﹣2=3x2+2ax+a﹣2,
可得a=0,
即有f(x)=x3﹣2x,f′(x)=3x2﹣2,
即有曲线y=f(x)在原点处的切线斜率为﹣2,
则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=﹣2x,
故选D.
点评:本题考查导数的运用:求切线方程,主要考查导数的几何意义,同时考查函数的奇偶性,正确求导是解题的关键.
9. (5分)已知集合A={0,a},B={﹣1,1},若A∩B={﹣1},则A∪B=( )
A. {0,1} B. {﹣1,0} C. {﹣1,1} D. {﹣1,0,1}
参考答案:
D
【考点】: 并集及其运算.
【专题】: 集合.
【分析】: 根据集合的基本运算进行求解即可.
解:∵A∩B={﹣1},
∴a=﹣1,
即A={0,﹣1},
则A∪B={﹣1,0,1},
故选:D
【点评】: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础.
10. 已知实数x,y满足约束条件,则的最小值是( ).
(A) 5 (B) -6
(C) 10 (D) -l0
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 以双曲线的左焦点为圆心,并与其渐近线相切的圆的标准方程是__▲__.
参考答案:
略
12. (5分)计算 2lg﹣lg5= .
参考答案:
1
【考点】: 对数的运算性质.
【专题】: 函数的性质及应用.
【分析】: 直接利用对数的运算法则化简求解即可.
解:2lg﹣lg5
=lg50﹣lg5
=lg10
=1.
故答案为:1.
【点评】: 本题考查对数的运算法则,考查计算能力.
13. 已知函数有零点,则的取值范围是
参考答案:
【知识点】函数零点的判定定理.B9
【答案解析】 解析:由,解得
当时,,函数单调递减;
当时,,函数单调递增.
故该函数的最小值为
因为该函数有零点,所以,即,解得
故的取值范围是.
【思路点拨】先讨论函数的单调性,得出函数的最值,由函数的最大值大于或等于零(或函数的最小值小于或等于零)得出a的取值范围.
14. 已知向量,,,若∥,则=___
参考答案:
5
略
15. 已知两个单位向量和夹角为120°,则______.
参考答案:
【分析】
根据向量的数量积的运算公式,即可求解的值,得到答案.
【详解】根据向量的数量积的运算公式,
可得.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式,合理准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.
16. 如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成,箭头将告诉你下一步到哪一个框图.阅读右边的流程图,并回答下面问题:若,则输出的数是 .
参考答案:
略
17. 已知等差数列的公差,且,,成等比数列,若,为数列的前项和,则的最小值为 .
参考答案:
由于,,成等比数列,所以,即,解得所以.
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分12分)已知数列的前项和为,对一切正整数,点都
在函数的图像上,且过点的切线的斜率为.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,等差数列的任一项
,其中是中的最小数,,求的通项公式.
参考答案:
解:(1)点都在函数的图像上,,
当时,…….3分
当n=1时,满足上式,所以数列的通项公式为…….4分
(2)由求导可得
过点的切线的斜率为,..
,.
又,其中是中的最小数,.
是公差是4的倍数,……………………8分
又,,解得m=27.
所以,设等差数列的公差为,则
,所以的通项公式为……12分
略
19. 已知函数。
(1)求函数在区间上的值域;
(2)在中,若,求的值。
参考答案:
(1)
。
(2)
20. 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点,自M、N向直线作垂线,垂足分别为、。(Ⅰ)当时,求证:⊥;
(Ⅱ)记、 、的面积分别为、、,是否存在,使得对任意的,都有成立。若存在,求出的值;若不存在,说明理由。
参考答案:
解:依题意,可设直线MN的方程为,则有
由消去x可得
从而有 ①
于是 ②
又由,可得 ③
(Ⅰ)如图1,当时,点即为抛物线的焦点,为其准线
此时 ①可得
证法1:
证法2:
(Ⅱ)存在,使得对任意的,都有成立,证明如下:
记直线与x轴的交点为,则。于是有
将①、②、③代入上式化简可得
上式恒成立,即对任意成立
略
21. [选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在平面坐标系中xOy中,已知直线l的参考方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点,求点P到直线l的距离的最小值.
参考答案:
解:直线的普通方程为.
因为点在曲线上,设,
从而点到直线的的距离,
当时,.
因此当点的坐标为时,曲线上点到直线的距离取到最小值.
22. 已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点,且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为尝
(1)求椭圆C1的方程;
(2)若直线l与C1相交于两点,与C2相交于两点,且,求的取值范围.
参考答案:
(1)由题意可知:,
又椭圆的上顶点为,
双曲线的渐近线为:,
由点到直线的距离公式有:.
(2)易知直线的斜率存在,设直线的方程为,代入,消去并整理得:
,
要与相交于两点,则应有:
设,
则有:,.
又.
又:,所以有:,
,②
将,代入,消去并整理得:,
要有两交点,则.③
由①②③有:
设、.
有:,
.
将代入有:
.
,令,
令,.
所以在内恒成立,故函数在内单调递增,
故.
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