湖南省郴州市和平中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析

湖南省郴州市和平中学2022-2023学年高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数的部分图象如右图所示，设是 图象的最高点，是图象与轴的交点，则 （   ） A．     B．      C．      D． 参考答案： B 略 2. 以下四个命题中： ①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样； ②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于； ③在某项测量中，测量结果服从正态分布，若位于区域内的概率为，则    位于区域内的概率为； ④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“与有关系”的把握越大．其中真命题的序号为    (    )  A．①④    B．②④     C．①③    D．②③ 参考答案： D 3. 设，，，则下列关系中正确的是 A．   B．    C．    D． 参考答案： 【知识点】对数函数的性质；比较大小.B7  【答案解析】A  解析：因为，同理可得： ，又因为是定义域内的增函数，且，所以 ，故选A。 【思路点拨】先把b,c转化成以2为底的对数，再结合对数函数的单调性即可判断. 4. 已知则的最小值为（     ） A                B            C           D 参考答案： C 略 5. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（   ） A.3   B.38  C.11     D.123   参考答案： C 6. 已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为  （    ） A．       B．       C．         D． 参考答案： D 略 7. 若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是 （A）         （B）         （C）            （D） 参考答案： B 8. 设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为(     ) A．y=4x B．y=3x C．y=﹣3x D．y=﹣2x 参考答案： D 考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的运算． 专题：导数的概念及应用；直线与圆． 分析：求出函数的导数，由函数的奇偶性定义，可得a=0，求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程． 解答： 解：函数f（x）=x3+ax2+（a﹣2）x的导函数是 f′（x）=3x2+2ax+a﹣2， 由f′（x）是偶函数， 即有f′（﹣x）=f′（x）， 即为3x2﹣2ax+a﹣2=3x2+2ax+a﹣2， 可得a=0， 即有f（x）=x3﹣2x，f′（x）=3x2﹣2， 即有曲线y=f（x）在原点处的切线斜率为﹣2， 则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=﹣2x， 故选D． 点评：本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的奇偶性，正确求导是解题的关键． 9. （5分）已知集合A={0，a}，B={﹣1，1}，若A∩B={﹣1}，则A∪B=（　　） 　 A． {0，1} B． {﹣1，0} C． {﹣1，1} D． {﹣1，0，1} 参考答案： D 【考点】： 并集及其运算． 【专题】： 集合． 【分析】： 根据集合的基本运算进行求解即可． 解：∵A∩B={﹣1}， ∴a=﹣1， 即A={0，﹣1}， 则A∪B={﹣1，0，1}， 故选：D 【点评】： 本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 10. 已知实数x，y满足约束条件，则的最小值是（  ）.     (A) 5   (B) -6     (C) 10    (D) -l0 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以双曲线的左焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是__▲__. 参考答案： 略 12. （5分）计算 2lg﹣lg5=　　． 参考答案： 1 【考点】： 对数的运算性质． 【专题】： 函数的性质及应用． 【分析】： 直接利用对数的运算法则化简求解即可． 解：2lg﹣lg5 =lg50﹣lg5 =lg10 =1． 故答案为：1． 【点评】： 本题考查对数的运算法则，考查计算能力． 13. 已知函数有零点，则的取值范围是        参考答案： 【知识点】函数零点的判定定理．B9 【答案解析】   解析：由，解得 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增. 故该函数的最小值为 因为该函数有零点，所以，即，解得 故的取值范围是. 【思路点拨】先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围． 14. 已知向量，，，若∥，则=___     参考答案： 5 略 15. 已知两个单位向量和夹角为120°，则______． 参考答案： 【分析】 根据向量的数量积的运算公式，即可求解的值，得到答案. 【详解】根据向量的数量积的运算公式， 可得. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 16. 如图所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成，箭头将告诉你下一步到哪一个框图．阅读右边的流程图，并回答下面问题：若，则输出的数是　　　． 参考答案： 略 17. 已知等差数列的公差，且，，成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为          ． 参考答案： 由于，，成等比数列，所以,即,解得所以. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都    在函数的图像上，且过点的切线的斜率为．   （1）求数列的通项公式；   （2）设，等差数列的任一项    ，其中是中的最小数，，求的通项公式． 参考答案： 解：（1）点都在函数的图像上，, 当时，…….3分 当ｎ＝1时，满足上式，所以数列的通项公式为…….4分    （2）由求导可得 过点的切线的斜率为，..     ,. 又，其中是中的最小数，. 是公差是4的倍数，……………………8分 又，,解得ｍ＝27. 所以，设等差数列的公差为，则 ，所以的通项公式为……12分 略 19. 已知函数。 （1）求函数在区间上的值域; （2）在中，若，求的值。 参考答案： （1） 。 （2）   20. 过抛物线的对称轴上一点的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线作垂线，垂足分别为、。（Ⅰ）当时，求证：⊥； （Ⅱ）记、 、的面积分别为、、，是否存在，使得对任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，说明理由。 参考答案： 解：依题意，可设直线MN的方程为，则有 由消去x可得                 从而有                                            ① 于是                                   ② 又由，可得                 ③ （Ⅰ）如图1，当时，点即为抛物线的焦点，为其准线 此时 ①可得 证法1： 证法2： (Ⅱ)存在，使得对任意的，都有成立，证明如下： 记直线与x轴的交点为,则。于是有                  将①、②、③代入上式化简可得 上式恒成立，即对任意成立                 略 21. [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 在平面坐标系中xOy中，已知直线l的参考方程为（t为参数）,曲线C的参数方程为（s为参数）.设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.   参考答案： 解：直线的普通方程为. 因为点在曲线上，设， 从而点到直线的的距离， 当时，. 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值. 22. 已知椭圆的左右顶点是双曲线的顶点，且椭圆C1的上顶点到双曲线C2的渐近线的距离为尝 （1）求椭圆C1的方程； （2）若直线l与C1相交于两点，与C2相交于两点，且，求的取值范围. 参考答案： （1）由题意可知：， 又椭圆的上顶点为， 双曲线的渐近线为：， 由点到直线的距离公式有：. （2）易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入，消去并整理得： ， 要与相交于两点，则应有： 设， 则有：，. 又. 又：，所以有：， ，② 将，代入，消去并整理得：， 要有两交点，则.③ 由①②③有： 设、. 有：， . 将代入有： . ,令, 令,. 所以在内恒成立，故函数在内单调递增， 故.