上海市宝山区第一中学高二数学理月考试题含解析

上海市宝山区第一中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. （5分）（2014秋?郑州期末）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（　　） 　 A． 一定是锐角三角形 　 B． 一定是直角三角形 　 C． 一定是钝角三角形 　 D． 可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 参考答案： C 【考点】： 三角形的形状判断． 【专题】： 计算题；解三角形． 【分析】： 根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案． 解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC， ∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8 设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣ ∵C是三角形内角，得C∈（0，π）， ∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角 因此，△ABC是钝角三角形 故选：C 【点评】： 本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题． 2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是     A.     B.     C.     D. 参考答案： C 3. 已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且=0.6826，则p（X>4）= （   ）                                            A. 0.1585     B.   0.1586       C. 0.1587               D. 0.1588  参考答案： C 略 4. 已知是不同直线，是平面，，则“∥”是“∥”的 （   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件 C．充要条件            D．既不充分也不必要条件 参考答案： D 5. 若函数f(x)=+2(a-1)x+2在区间内递减，那么实数a的取值范围为（   ）   A.a≤-3             B.a≥-3         C.a≤5           D.a≥3 参考答案： A 6. 下列命题中，真命题的个数为（　　） ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内； ④若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l． A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】2K：命题的真假判断与应用． 【分析】利用平面的基本性质逐个判断选项即可． 【解答】解：①对：如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；因为不在同一条直线上的3点，确定唯一平面，所以①正确； ②对于：两条直线可以确定一个平面；必须是平行或相交直线，异面直线不能确定平面，所以②不正确； ③对于：空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；反例：正方体的一个顶点出发的三条侧棱，不满足③，所以③不正确； ④对于：若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l．满足平面相交的基本性质，正确； 故选：B． 7. 已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为(    ) A．2         B．3         C．5          D．7 参考答案： D 8. 为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视．在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力(　　) A．期望与方差  B．排列与组合   C．独立性检验  D．概率 参考答案： C 9. 直线与圆相交于两点，则等于 A.            B.         C.          D.   参考答案： D 10. 过抛物线的焦点作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（   ） A.相离     B.相切     C. 相交      D. 不确定 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 1934年，来自东印度（今孟加拉国）的学者森德拉姆发现了“正方形筛子”，其数字排列规律与等差数列有关，如图，则“正方形筛子”中，位于第8行第7列的数是　　． 参考答案： 127 【考点】归纳推理． 【分析】通过图表观察，每一行的公差为3，5，7，…2n+1．再由等差数列的通项公式，即可得到所求值． 【解答】解：第一行的数字是加3递增，第二行加5递增，第三行加7递增， 第n行，3+2×（n﹣1）递增． 则第8行为3+2×（8﹣1）=17递增． 第8行的第7个数就是4+（8﹣1）×3+（7﹣1）×17=127． 故答案为：127． 【点评】本题给出“正方形筛子”的例子，求表格中的指定项，着重考查了等差数列的通项公式及其应用的知识，属于基础题． 12. 已知M是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，I是的内心，延长MI交于N，则 等于__________________. 参考答案： 略 13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最小值是______________. 参考答案： 略 14. 抛物线上一点和焦点的距离等于， 则点的坐标是 . 参考答案： ，   15. 函数与轴围成的面积是________________. 参考答案： 16. 如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=3，BE⊥AC，垂足为E，则ED=    ． 参考答案： 【考点】余弦定理． 【专题】解三角形． 【分析】由矩形ABCD，得到三角形ABC为直角三角形，由AB与BC的长，利用勾股定理求出AC的长，进而得到AB为AC的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半得到∠ACB=30°，且利用射影定理求出EC的长，在三角形ECD中，利用余弦定理即可求出ED的长． 【解答】解：∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，AB=，BC=3，根据勾股定理得：AC=2， ∴AB=AC，即∠ACB=30°，EC==， ∴∠ECD=60°， 在△ECD中，CD=AB=，EC=， 根据余弦定理得：ED2=EC2+CD2﹣2EC?CDcos∠ECD=+3﹣=， 则ED=． 故答案为： 【点评】此题考查了余弦定理，勾股定理，直角三角形的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．   17. 已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是　　． 参考答案： x2﹣y2=1 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程． 【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ， 代入点，可得3﹣=λ， ∴λ=﹣1， ∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1． 故答案为： x2﹣y2=1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知直线：，：， 它们相交于点A． （1）判断直线和是否垂直？请给出理由；      （2）求A点的坐标及过点Ａ且与直线：平行的直线方程（请给出一般式） （3）求直线上点P（1，），Q（，1）与B（2，1）构成的三角形的面积 参考答案： 略 19. （1）求函数f（x）=（x＜﹣1）的最大值，并求相应的x的值． （2）已知正数a，b满足2a2+3b2=9，求a的最大值并求此时a和b的值． 参考答案： 【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义． 【专题】函数思想；配方法；不等式． 【分析】（1）由题意可知，由x＜﹣1，﹣（x+1）＞0，由基本不等式的性质，即可求得函数f（x）的最大值，及x的值； （2）由2a2+3b2=9，即平方和为定值，求积的最大值，可以根据条件配成平方和为定值的形式，再用基本为等式求最大值，要注意取等号的条件． 【解答】解：（1）， =， ∵x＜﹣1， ∴x+1＜0， ∴﹣（x+1）＞0， ∴ ∴， 当且仅当时， f（x）取最大值1．…（6分） （2）解：a，b都是正数，， ， 当且仅当2a2=3+3b2，又2a2+3b2=9，得时， 有最大值．…（12分） 【点评】本题考查了基本不等式求最值，注意利用配凑法将平方和凑成定值，本题难度不大，属于中档题． 20. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得＝80，＝20，＝184，＝720. (1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程； (2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关； (3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄． 附：线性回归方程中，b＝， 参考答案： （1）（2） 试题分析：（1）先求均值，，，再代公式求系数，最后根据回归直线方程过点求（2）即求自变量为7时对应函数值 试题解析：（1）由题意知，，， ∴，∴， 故所求回归方程为． （2）将代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为（千克）．   22.已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N＋)和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出2个球，若2个球颜色不同则为中奖，否则不中奖． (1)当n＝3时，设三次摸球中中奖的次数为X，求随机变量X的分布列； (2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P，求当n取多少时，P的值最大． 【答案】（1）见解析；（2）1或2 【解析】 【分析】 （1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p==，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ． （2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=?p2?（1﹣p）=﹣3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值． 【详解】（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率， ；    ； ；； ξ分布列为： ξ 0 1 2 3 p   （2）设每次摸奖中奖的概率为p， 则三次摸球（每次摸奖后放回）恰有两次中奖的概率为： ，0＜p＜1， P'=﹣9p2+6p=﹣3p（3p﹣2），知在上P为增函数，在上P为减函数， 当时P取得最大值． 又， 故n2﹣3n+2=0，解得：n=1或n=2， 故n为1或2时，P有最大值． 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学斯望的求法，解题时要认真审题，解题时要认真审题，注意导数的性质的灵活运用． 21. （本题满分12分）设f(x)=x3+   求函数f(x)的单调区间及其极值; 参考答案： 解：（1） 解得                …………(4分) + 0 - - 0 + ↗ 极大值 ↙ ↙ 极小值 ↗                                             …………(8分) 和 单调减区间为和             …………….(10分) 极大值为，极小值为……………(12分) 略 22. 已知函数f（x）=|2x+1|+|2x﹣3| （1）求不等式f（x）≤6的解集； （2）若关于x的不等式f（x）≤|a﹣2|的解集非空，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】R5：绝对值不等式的解法；R4：绝对值三