辽宁省阜新市蒙古族自治县第二高级中学2022年高二数学理联考试卷含解析

辽宁省阜新市蒙古族自治县第二高级中学2022年高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. x2dx的值为(     ) A． B．1 C． D． 参考答案： A 考点：定积分． 专题：导数的概念及应用． 分析：根据定积分的计算法则计算即可． 解答： 解：x2dx=x3|=， 故选：A． 点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题． 2. 若0＜a＜b，a+b=1，则a，中最大的数为（　　） A．a B． C．2ab D．a2+b2 参考答案： D 【考点】不等式比较大小． 【分析】0＜a＜b，a+b=1，可得，a2+b2＞2ab.2ab=2a（1﹣a）=+．即可得出． 【解答】解：∵0＜a＜b，a+b=1， ∴， a2+b2＞2ab． 2ab=2a（1﹣a）=+． 则a，中最大的数是a2+b2． 故选：D． 3. 圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的体积为   (　　) A．36π          B．12π          C．4π           D．4π 参考答案： C 略 4. 在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】F3：类比推理． 【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论． 【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=， 故选：B． 【点评】类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）． 5. 设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣1）=f（x+1），且当x∈[0，1]时，f（x）=1﹣3x，若在区间[﹣6，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+3）=0（0＜a＜1）恰有5个不同的实数根，则a的取值范围是(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用． 分析：由题意知函数f（x）与函数y=loga（x+3）（0＜a＜1）的图象有5个不同的交点；从而作图求解即可． 解答： 解：∵方程f（x）﹣loga（x+3）=0（0＜a＜1）恰有5个不同的实数根， ∴函数f（x）与函数y=loga（x+3）（0＜a＜1）的图象有5个不同的交点； 作函数f（x）与函数y=loga（x+3）（0＜a＜1）的图象如下， 结合图象可知， 函数y=loga（x+3）（0＜a＜1）的图象为曲线m时， ﹣2=loga（1+3），故a=； 函数y=loga（x+3）（0＜a＜1）的图象为曲线l时， ﹣2=loga（3+3），故a=； 结合选项可得，a的取值范围是（，）； 故选：A． 点评：本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用及学生的作图与应用的能力，同时考查了数形结合的思想应用，属于中档题． 6. 命题：“存在”的否定是   A不存在 ，     B存在 ，   C对任意 ，      D对任意 ， 参考答案： C 7. 已知命题“如果p，那么q”为真，则 A．q?p        B．p?q          C．q?p      D．q?p 参考答案： C 略 8. 在三角形中，，，，则(    )    A．      B．或      C．或3      D． 参考答案： B 9. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为x，y，则满足的概率为（  ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先化简，得到或.利用列举法和古典概型概率计算公式可计算出所求的概率. 【详解】由，有，得或， 则满足条件的为，，，，，，，，，所求概率为 ．故选B. 【点睛】本小题主要考查对数运算，考查列举法求得古典概型概率有关问题，属于基础题.   10. 在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7，则a5等于（　　） A．3 B．7 C．10 D．11 参考答案： C 【考点】等差数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 【分析】设出等差数列的公差，由已知条件列式求出公差，则a5可求． 【解答】解：设公差为d，则， 解得，a1=﹣2，d=3， ∴a5=a1+4d=﹣2+3×4=10． 故选C． 【点评】本题考查了等差数列的通项公式，是基础的运算题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，...的第15项是  ▲   ． 参考答案： 5 略 12. 已知一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，其中俯视图是顶角为的等腰三角形，则该三棱锥的侧视图面积为             。 参考答案： 1 13. 已知点F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，若椭圆C上存在两点P、Q满足=2，则椭圆C的离心率的取值范围是　     　． 参考答案： [，1） 设P（（x1，y1），Q（x2，y2），F（﹣c，0），直线PQ：y=k（x+c），可得y1=﹣2y2． 由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0 …②，…③ 由①②③得b2+a2k2=8c2，?8c2≥b2=a2﹣c2?9c2≥a2即可求解 解：设P（（x1，y1），Q（x2，y2），F（﹣c，0），直线PF：y=k（x+c）． ∵P、Q满足=2，∴y1=﹣2y2…① 由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0 …②，…③ 由①②得，代入③得 b2+a2k2=8c2，?8c2≥b2=a2﹣c2?9c2≥a2 ?，∴椭圆C的离心率的取值范围是[，1） 故答案为[，1） 14. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣2处取得极值，并且它的图象与直线y=﹣3x+3在点（1，0）处相切，则函数f（x）的表达式为　　． 参考答案： f（x）=x3+x2﹣8x+6 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数在某点取得极值的条件． 【分析】求出f′（x），由函数在x=﹣2处取得极值得到f′（﹣2）=0，又∵函数与直线在点 （1，0 ）处相切，∴f′（1）=﹣3，联立两个关于a、b的二元一次方程，求出a和b，又由函数过点（1，0），代入求出c的值，则函数f（x）的表达式可求． 【解答】解：∵f′（x）=3x2+2ax+b， ∴f′（﹣2）=3×（﹣2）2+2a×（﹣2）+b=0， 化简得：12﹣4a+b=0  ① 又f′（1）=3+2a+b=﹣3  ② 联立①②得：a=1，b=﹣8 又f（x）过点（1，0） ∴13+a×12+b×1+c=0，∴c=6． ∴f（x）=x3+x2﹣8x+6． 故答案为：f（x）=x3+x2﹣8x+6． 15. 设有一组圆．下列四个命题： ①存在一条定直线与所有的圆均相切 ②存在一条定直线与所有的圆均相交 ③存在一条定直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号） 参考答案： ② ④ 16. 周长为3cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_______cm3. 参考答案： 【分析】 由已知中周长为3cm的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,我们设出圆柱的长和宽,然后可以写出圆柱体积的表达式,利用导数法,分析出体积取最大值时,自变量的值,代入即可求出圆柱体积的最大值. 【详解】解:矩形的周长为3cm 设矩形的长为xcm,则宽为 设绕其宽旋转成一个圆柱,则圆柱的底面半径为xcm,高为 则圆柱的体积 则 当,则 当，则 即在上单调递增，在上单调递减 故当圆柱体积取最大值 此时 故答案为: 【点睛】本题考查的知识点是圆柱的体积,其中根据已知条件,设出圆柱的长和宽,然后可以写出圆柱体积的表达式,是解答本题的关键. 17. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角的大小是____▲_______  参考答案： 0 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，直三棱柱中，、分别是棱、的中点，点在棱上，已知，，．（1）求证：平面； （2）设点在棱上，当为何值时，平面平面？ 参考答案： （1）连接交于，连接． 因为CE，AD为△ABC中线， 所以O为△ABC的重心，． 从而OF//C1E．………………………………………………4分 OF面ADF，平面， 所以平面．…………………………………………7分 （2）当BM=1时，平面平面． 在直三棱柱中， 由于平面ABC，BB1平面B1BCC1，所以平面B1BCC1平面ABC． 由于AB=AC，是中点，所以．又平面B1BCC1∩平面ABC=BC， 所以AD平面B1BCC1． 而CM平面B1BCC1，于是ADCM．…………………10分 因为BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所以CMDF． …12分 DF与AD相交，所以CM平面． CM平面CAM，所以平面平面．………………………15分 当BM=1时，平面平面．…………………………………16分 19. 已知抛物线，直线，求直线与抛物线的交点坐标． 参考答案： 解：联立方程得……（2分） 将（2）代入（1）得：，化简得：……（4分） 解得：……（7分） 代入（2）得：……（8分） ∴或……（9分） 直线与抛物线的交点坐标为或。……（10分）   略 20. 如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱AA1⊥底面ABCD, AB∥DC, AB⊥AD, AD=CD=1, AA1=AB=2, E为棱AA1的中点. 1）证明B1C1⊥CE; 2）求二面角B1-CE-C1的正弦值. 参考答案： 1）如图,以点为原点建立空间直角坐标系,依题意得,,,,,. 证明:易得,, 于是,所以. 2） .设平面的法向量为, 则即, 消去,得,不妨令,可得一个法向量为. 由1问知, ,又,可得平面,故为平面的一个法向量. 于是,从而, 所以二面角的正弦值为. 21. 设数列的前项和为，满足，又数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 参考答案： （1）设的公差为，则 ∴ ∴ 当时，，∴ 当时， ∴ ∴ （2）由（1）知 ， ∴ 22. （12分）设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 （Ⅰ）若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围； （Ⅱ）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案：