山西省临汾市爱心学校高一数学理月考试题含解析

山西省临汾市爱心学校高一数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60o ”时，应该（   ）   A．假设三内角都不大于60 o B．假设三内角都大于60 o C．假设三内角至多有一个大于60 o         D．假设三内角至多有两个大于60 o 参考答案： B 略 2. 在同一坐标系中画出函数的图象，可能正确的是（   ）          A                B                  C                 D 参考答案： D 3. 设全集U=R，集合M= A．                       B． C． D． 参考答案： C ，∴ 4. 已知幂函数是偶函数，则实数m的值是（　　） A．4 B．﹣1 C． D．4或﹣1 参考答案： A 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】根据函数y是幂函数列出方程求出m的值，再验证函数y是偶函数即可． 【解答】解：函数是幂函数，则m2﹣3m﹣3=1， 解得m=﹣1或m=4； 当m=﹣1时，y=不是偶函数； 当m=4时，y=是偶函数； 综上，实数m的值是4． 故选：A． 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题目． 5. 实数的最大值为（    ） A．—1 B．0 C．2 D．4 参考答案： D 6. 已知等比数列{an}的公比是q，首项，前n项和为Sn，设成等差数列，若，则正整数k的最大值是（     ） （A）4            （B）5             C）14            （D）15 参考答案： A 由已知可得 ，故选A.   7. 函数f（x）=lnx+x﹣2的零点位于区间（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】求导函数，确定函数f（x）=lnx+x﹣2单调增，再利用零点存在定理，即可求得结论． 【解答】解：求导函数，可得f′（x）=+1， ∵x＞0，∴f′（x）＞0， ∴函数f（x）=lnx+x﹣2单调增 ∵f（1）=ln1+1﹣2=﹣1＜0，f（2）=ln2＞0 ∴函数在（1，2）上有唯一的零点 故选：B． 【点评】本题考查函数的零点，解题的关键是确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断． 8. 若，，，则（    ） A.      　 B.    　 C.      D. 参考答案： A 7. 若,则等于 A.           B.           C.                D. 参考答案： A 略 10. 函数的零点个数为（     ） A.0             B.1            C.2             D.3 参考答案： C 由题意得：， 由图可知，有2个零点，故选C。   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图，四边形ＡＢＣＤ中，Ａ＝60°,　AD⊥CD ，ＤＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝，ＢＤ＝4，则BC的长为　　　　　　　　。     参考答案： 12. 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在的频率为　　　　．                        参考答案： 0.3 13. 已知等腰三角形的周长为常数l，底边长为y，腰长为x，则函数y=f（x）的定义域为　　． 参考答案： （，） 【考点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】根据周长得出x、y、l三者的关系，再根据三角形的三边大小关系及不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意得：y+2x=l，2x＞y＞0， 解得：＜x＜， 故答案为：（，）． 【点评】熟练不等式的基本性质和三角形的三边大小关系是解题的关键． 14. 给出下列命题 ①函数的最小正周期为，图象的一条对称轴为 ②若向量与共线，则 ③两个单位向量与的夹角为，当时，向量与向量垂直 ④函数的一个对称中心为，且在区间上单调递减 其中结论正确的编号为①                （把你认为正确的结论编号都填上）         参考答案： ③① 15. 若一组样本数据的平均数为10，则该组样本数据的方差为______. 参考答案： 2 【分析】 先利用平均数算出的值，再利用公式计算方差. 【详解】，故， 所以方差，填. 【点睛】样本数据的方差的计算有两种方法：（1）；（2）.   16. .已知为等比数列，是它的前n项和。若，且与2的等差中项为，则公比=___________w_w w.k*s_5 u.c o_m 参考答案： 略 17. 参考答案： 0,－1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .（14分）如图，已知等腰梯形中，，，，点在腰上，且，点在腰上，连接交于点，且有。 （1）用和来表示向量； （2）求：和：的值。 参考答案： （1） （2）分别为和 19. 已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且an+1=2an+1，n∈N*． （1）证明数列{an+1}是等比数列并求数列{an}的通项公式； （2）证明：． 参考答案： 【考点】8K：数列与不等式的综合；88：等比数列的通项公式． 【分析】（1）由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1），由a1=1，得a1+1=2，由此能证明数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而能求出数列{an}的通项公式． （2）由，利用放缩法和等比数列前n项和公式能证明． 【解答】解：（1）∵an+1=2an+1， ∴an+1+1=2（an+1）， 又a1=1，a1+1=2， =2， ∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列． ∴an+1=2n，∴数列{an}的通项公式an=2n﹣1， 证明：（2）∵， ∴， ∴． 20. （本小题满分12分）   已知函数的图象经过点（0 2） （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求函数的值域. 参考答案： （1）∵函数的图象经过点（0 2） ∴    ∴    ------------------------------------------------------------2分    ∴ ＝        ---------------------------------------------------------6分    ∴ 由得 ∴函数的单调递减区间函数的单调递减区间为   -----------------------------------------------------8分 （2）由（1）知 ∵ ∴  ∴   --------------------------------------------------------10分 ∴ ，即函数的值域为  ---------------------------12分 21. 定义：对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数，试判断是否为定义域R上的“局部奇函数”?若是，求出所有满足的x的值；若不是，请说明事由． （Ⅱ）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． （Ⅲ）若为定义域上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 参考答案： 见解析． 解：（Ⅰ）当，方程即， ，所以为“局部奇函数”． （Ⅱ）法一：当时，可化为， ∵有定义域为，所以方程在有解， 令，则， ∵在上为减函数，在上为增函数， ∴当时，，即， ∴． 法二：当时，可化为， 令，则关于的二次方程在上有解即可， 保证为“局部奇函数”，设． ①当方程在上只有一解时， 须满足在或， 解得或舍去， 因为此时方程在区间有两解，不符合这种情况． ②当方程在上有两个不相等实根时， 须满足， 解得， ∴． （Ⅲ）当为定义域上的“局部奇函数”时，， 可化为， 令，则，， 从而在有解，即可保证为“局部奇函数” 令，则 ①时，在有解， 即，解得． ②当，在有解等价于， ，解得． 综上，， ∴的取值范围是． 22. （本小题满分14分） 递增等比数列中（），已知，，，成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）记的前项和为（），求证. 参考答案： （1）依题意可列得：，化简可得：，……1分 即为：，解得：，或，………………2分 而数列{}是递增数列，故，………………3分 则.………………4分 (2)依题意可列得：，即：， ①当时，则易得：，解得：，………………5分 ②当时，则，………………6分 而，………………7分 而易知：当时，的值是16；而当时，是， 故.………………8分 综合①、②可得：.………………9分 （2）①当时，则易得：，显然成立；………………10分 ②当时，则，…………11分 即有：，………………12分 故+……+ 即：， 综合①、②可得：命题得证. ………………14分