湖南省邵阳市晏田乡中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析

湖南省邵阳市晏田乡中学2022-2023学年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ， ，则=（　　） A．（0，2] B．（1，2]     C．?   D．（﹣4，0） 参考答案： B 2. 已知命题是真命题，命题是假命题，那么下列命题中是假命题的是（    ） A．    B．或   C．且    D．且 参考答案： C 3. 已知集合，，若，则  (    ) A. 　　 B. C. 或 　 D. 或或 参考答案： C 略 4. 已知复数是纯虚数，则实数a＝ A．－2          B．4        C．－6          D．6 参考答案： D 略 5. 已知全集为R，集合A={x|2x≥1}，B={x|x2﹣3x+2≤0}，则A∩?RB=（　　） A．{x|x≤0} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x＜1或x＞2} D．{x|0≤x＜1或x≥2} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】先求出集合AB，再求出B的补集，根据交集的定义即可求出． 【解答】解：∵全集为R，集合A={x|2x≥1}={x|x≥0}，B={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}， ∴?RB={x|x＜1或x＞2}， ∴A∩?RB={x|0≤x＜1或x＞2} 故选：C 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 6. 已知，则 A.            B.                 C. -           D. 参考答案： C 略 7. 若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，则k的值为（　　） A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．﹣3 参考答案： A 【考点】直线和圆的方程的应用；过两条直线交点的直线系方程． 【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可． 【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y=0的圆心（1，﹣2）， 若圆C：x2+y2﹣2x+4y=0上存在两点A，B关于直线l：y=kx﹣1对称，可知直线经过圆的圆心， 可得﹣2=k﹣1， 解得k=﹣1． 故选：A． 8. 函数（x≤0）的反函数是                                  （    ）          A．                              B．          C．    D． 参考答案： 9. 下列函数中，在（﹣1，1）内有零点且单调递增的是（　　） A．y=log2x B．y=2x﹣1 C．y=x2﹣2 D．y=﹣x3 参考答案： B 【考点】函数零点的判定定理；函数单调性的判断与证明． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据解析式判断单调性，再根据零点存在性定理判断即可得出答案． 【解答】解：y=logx在（﹣1，1）有没有意义的情况，故A不对， y=x2﹣1在（﹣1，0）单调递减，故C不对， y=﹣x3在（﹣1，1）单调递减，故D不对， 故A，C，D都不对， ∵y=2x﹣1，单调递增，f（﹣1）＜0，f（1）＞0，∴在（﹣1，1）内存在零点 故选：B 【点评】本特纳考查了函数的单调性，零点的判断，函数解析式较简单，属于容易题． 10. 已知椭圆，F1、F2是其左右焦点，若对椭圆C上的任意一点P，都有恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A. (－3,0)∪(0,3) B. [－3,0)∪(0,3] C.(－∞,－3) ∪(3,+∞) D. (－∞,－3] ∪[3,+∞) 参考答案： C 【分析】 椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点，画出图象，根据图象可知当点移动到轴顶点时，角度最大，此时，移动到椭圆其位置也必有，求出，，根据向量数量积坐标公式，即可求得答案. 【详解】椭圆，是其左右焦点，若对椭圆上的任意一点， 画出图象： 根据图象可知当点移动到轴顶点时，角度最大，此时，移动到椭圆其位置也必有 根据 ，， 点移动到轴顶点时， 可得：， 由，可得，即 解得其 故选：C. 【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的图象特征和向量的数量积坐标公式，数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知向量，若，则=          ． 参考答案： 0 12. 若函数f(a)＝，则等于____________. 参考答案： p＋1 略 13. 函数() 的值域是（    ） A.        B.      C.        D. 参考答案： C 略 14. （5分）已知=2，=3，=4，…，若=7，（a、b均为正实数），则类比以上等式，可推测a、b的值，进而可得a+b=　　． 参考答案： 55 【考点】： 类比推理． 【专题】： 计算题；推理和证明． 【分析】： 观察所给的等式，照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48，即可写出结果． 解：观察下列等式 =2，=3，=4，…， 照此规律，第7个等式中：a=7，b=72﹣1=48， ∴a+b=55， 故答案为：55 【点评】： 本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系． 15. 设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足PF2=F1F2，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为　     　． 参考答案： 4x±3y=0 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，得△PF1F2中，PF2=F1F2=2c，高F2Q=2a，PQ=PF1=c+a，利用勾股定理列式，解之得a与c的比值，从而得到的值，得到该双曲线的渐近线方程． 【解答】解：∵PF2=F1F2=2c， ∴根据双曲线的定义，得PF1=PF2+2a=2c+2a 过F2点作F2Q⊥PF1于Q点，则F2Q=2a， 等腰△PF1F2中，PQ=PF1=c+a， ∴=PQ2+，即（2c）2=（c+a）2+（2a）2， 解之得a=c，可得b==c ∴=，得该双曲线的渐近线方程为y=±x，即4x±3y=0 故答案为：4x±3y=0 16. 设全集，集合则     ▲    ，      ▲     ，    ▲     ． 参考答案： 17. 若集合且下列四个关系： ①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是_________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约。甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响。已知至少有1人面试合格概率为。     (1)求P。  (2)求签约人数的分布列和数学期望值。 参考答案： 解：（1）至少1人面试合格概率为（包括1人合格 2人合格和3人都合格）， 这样都不合格的概率为1-=。（1-P）3 =    P= （2）签约人数取值为0、1、2、3 签约人数为0的概率：都不合格（1-）3=， 甲不合格，乙丙至少一人不合格*（1-*）-（1-）3（甲乙丙都不合格）= 签约人数为0的概率：+= 签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：*（1-*）= 签约人数为2的概率:甲不合格，乙丙全部合格：**（1-）= 签约人数为3的概率:甲乙丙均合格：（）3= 分布表： 签约人数 0 1 2 3 概率 数学期望：E＝1 19. 某电视台举办青年歌手大奖赛，有10名评委打分，已知甲、乙两名选手演唱后的打分情况如茎叶图所示： （Ⅰ）从统计的角度，你认为甲与乙比较，演唱水平怎样？ （Ⅱ）现场有3名点评嘉宾A、B、C，每位选手可以从中选2位进行指导，若选手选每位点评嘉宾的可能性相等，求甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人的概率． 参考答案： （Ⅰ）由茎叶图可得：，，，所以甲演唱水平更高一点，但甲的方差较大，即评委对甲的水平认可存在较大的差异       ……5分 （Ⅱ）依题意，共有 9 个基本事件：                  甲的选择             乙的选择                       其中，甲乙两选手选择的点评嘉宾恰重复一人包含6个基本事件. 所以，所求概率为．                   ………………12分 略 20. 已知函数f（x）=﹣ax2+（1+a）x﹣lnx（a∈R）． （Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）．若存在区间[m，n]?[，+∞），使得函数g（x）在[m，n]上的值域为[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，求实数k的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】分类讨论；分析法；导数的综合应用． 【分析】（Ⅰ）对f（x）进行求导，讨论a=1，a＞1.0＜a＜1，利用导数为负，求函数的减区间； （Ⅱ）要求存在区间，使f（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]，将其转化为g（x）=k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根，再利用导数求出k的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a＞0时，函数f（x）=﹣ax2+（1+a）x﹣lnx的导数为 f′（x）=﹣ax+1+a﹣=﹣，（x＞0）， 当a=1时，f′（x）≤0，f（x）递减； 当a＞1时，1＞，f′（x）＜0，可得x＞1或0＜x＜； 当0＜a＜1时，1＜，f′（x）＜0，可得0＜x＜1或x＞． 综上可得，a=1时，f（x）的减区间为（0，+∞）； a＞1时，f（x）的减区间为（1，+∞），（0，）； 0＜a＜1时，f（x）的减区间为（，+∞），（0，1）； （Ⅱ）当a=0时，设函数g（x）=xf（x）=x2﹣xlnx， 令g′（x）=2x﹣lnx+1（x＞0）， 则g′（x）=2﹣=，（x＞0）， 当x≥时，g′（x）≥0，g（x）为增函数； g（x）在区间[m，n]?[，+∞）递增， ∵g（x）在[m，n]上的值域是[k（m+2）﹣2，k（n+2）﹣2]， 所以g（m）=k（m+2）﹣2，g（n）=k（n+2）﹣2，≤m＜n， 则g（x）=k（x+2）﹣2在[，+∞）上至少有两个不同的正根， k=，令F（x）==， 求导得，F′（x）=（x≥）， 令G（x）=x2+3x﹣2lnx﹣4（x≥） 则G′（x）=2x+3﹣=， 所以G（x）在[，+∞）递增，G（）＜0，G（1）=0， 当x∈[，1]时，G（x）＜0，∴F′（x）＜0， 当x∈[1，+∞]时，G（x）＞0，∴F′（x）＞0， 所以F（x）在[，1）上递减，在（1，+∞）上递增， ∴F（1）＜k≤F（）， ∴k∈（1，]． 【点评】本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，利用了分类讨论和转化的思想，此题是一道中档题． 21. 已知命题 ，.如果对任意实数,.求实数的取值范围. 参考答案： 解析: