湖北省宜昌市枝江七星台镇职业中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析

湖北省宜昌市枝江七星台镇职业中学2022-2023学年高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若不等式和不等式的解集相同，则的值为（    ） A． B．  C． D． 参考答案： A 略 2. 已知函数（且）在上的最大值与最小值之和为，则的值为（    ）． A． B． C． D． 参考答案： C 解：因为函数（且）， 所以函数在时递增，最大值为； 最小值为， 函数在时递减， 最大值为，最小值为； 故最大值和最小值的和为：． ∴，（舍）． 故选． 3. 已知△ABC中，，，为AB边上的中点，则 (   ) A. 0 B. 25 C. 50 D. 100 参考答案： C 【分析】 三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，故可知其长度，由向量运算法则，对式子进行因式分解，由平行四边形法则，求出向量，由长度计算向量积. 【详解】由勾股定理逆定理可知三角形为直角三角形，CM为斜边上的中线，所以， 原式=. 故选C. 【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，数量积问题一般要将两个向量转化为已知边长和夹角的两向量，但本题经化简能得到共线的两向量所以直接根据模的大小计算即可. 4. 已知集合M={x|x2﹣1≤0}，N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}，则M∩N=（　　） A．{﹣1，0} B．{1} C．{﹣1，0，1} D．? 参考答案： A 【考点】交集及其运算；指、对数不等式的解法． 【分析】求出集合MN，然后求解交集即可． 【解答】解：集合M={x|x2﹣1≤0}={x|﹣1≤x≤1}， N={x|＜2x+1＜4，x∈Z}={x|﹣2＜x＜1，x∈Z}={﹣1，0}， 则M∩N={﹣1，0} 故选：A 5. 设，若时,均有恒成立，则（    ） A．          B.           C.              D. 参考答案： D 略 6. 设函数f(x)对任意x、y满足f(x＋y)=f(x)＋f(y)，且f(2)=4，则f(－1)的值为（   ） A．－2 B． C．±1 D．2     参考答案： A 略 7. 已知向量，，且，则m=(    ) A. B. C. 2 D. －2 参考答案： A 【分析】 根据题意得到，求解，即可得出结果. 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故选A 【点睛】本题主要考查由向量共线求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于基础题型. 8. 已知集合A =｛x | x ( x -1) = 0｝，那么                                  (   )       A．0∈A         　B． 1A          C．∈A        D． 0A  参考答案： A 9. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．则该几何体的体积为 A.48　　   B.64　 C.96   　 D.192 参考答案： B 10. 函数的定义域是（     ） A．            B．        C．          D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 下列几个命题 ①方程的有一个正实根，一个负实根，则； ②，，，这是一个从集合A到集合B的映射； ③函数的值域是，则函数的值域为； ④函数 f(x)=|x|与函数g(x)=是同一函数； ⑤一条曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.   其中正确的有__________________ 参考答案： ①⑤. 12. 计算=       ． 参考答案： 考点：两角和与差的正切函数． 专题：三角函数的求值． 分析：利用两角差的正切公式把要求的式子化为tan（45°﹣15°）=tan30°，从而求得结果． 解答： 解：==tan（45°﹣15°）=tan30°=， 故答案为：． 点评：本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 13. （5分）已知集合A={x|0＜x≤2，x∈Z}，则集合A的子集个数 ． 参考答案： 4 考点： 子集与真子集． 专题： 规律型． 分析： 根据条件求出集合A，利用子集的关系即可得到结论． 解答： ∵A={x|0＜x≤2，x∈Z}={1，2}， ∴对应的子集为?，{1}，{2}，{1，2}，共4个． 故答案为：4． 点评： 本题主要考查集合子集个数的判断，比较基础． 14. 已知，则         ． 参考答案： -6 略 15. 数列中，，，则__________． 参考答案： ∵在数列中，， ∴， ∴，，，，， ∴． 16. 有下列命题： ①函数f（﹣x+2）与y=f（x﹣2）的图象关于y轴对称 ②若函数f（x）=ex，则对任意的x1，x2∈R，都有 ③若函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（﹣2）＞f（a+1） ④若函数f（x+2013）=x2﹣2x﹣1（x∈R），则函数的最小值为﹣2 其中正确的序号是　　． 参考答案： ②④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①令t=﹣x+2，知y=f（t）与y=f（﹣t）的图象关于y轴对称，从而得出y=f（﹣x+2）与y=f（x﹣2）的图象的对称性； ②利用作商法，结合基本不等式，判定是否成立即可； ③由函数f（x）的单调性与奇偶性判定命题是否正确； ④利用换元法求出函数f（x）的解析式，再求出f（x）的最小值，即可判定命题是否正确． 【解答】解：①设t=﹣x+2，∴x﹣2=﹣t， ∴函数化为y=f（t）与y=f（﹣t）， 两函数图象关于直线t=0对称， 由t=﹣x+2=0得：x=2， ∴y=f（﹣x+2）与y=f（x﹣2）的图象关于直线x=2对称； ∴命题①错误； ②∵f（x）=ex，对任意的x1，x2∈R， 有= =+≥2 =2×=1， ∴， ∴命题②正确； ③当函数f（x）=loga|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增时， a＞1，∴a+1＞2， ∴f（a+1）＞f（2）； 又f（﹣2）=f（2）， ∴f（a+1）＞f（﹣2）； ∴命题③错误； ④∵函数f（x+2013）=x2﹣2x﹣1（x∈R）， 设x+2013=t，则x=t﹣2013； ∴f（t）=（t﹣2013）2﹣2（t﹣2013）﹣1 =（t﹣2013﹣1）2﹣1﹣1 =（t﹣2014）2﹣2， 即f（x）=（x﹣2014）2﹣2； ∴函数f（x）的最小值为﹣2， ∴命题④正确； 综上知，正确命题的序号是②④； 故答案为：②④． 17. 已知f(x5)＝lg x，则f(10)＝_______。 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （14分）对于函数f（x），我们把使得f（x）=x成立的x称为函数f（x）的“不动点”；把使得f（f（x））=x成立的x称为函数f（x）的“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A={x|f（x）=x}，B={x|f（f（x））=x}． （1）求证：A?B； （2）若f（x）=2x﹣1，求集合B； （3）若f（x）=x2﹣a，且A=B≠?，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 二次函数的性质；函数的值． 专题： 函数的性质及应用． 分析： （1）分类求解若A=?，则A?B显然成立； 若A≠?， （2）得出f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x，求解即可． （3）分类①△＜0，a时，C=??A成立②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C?A成立③△＞0，总结即可． 解答： 解：（1）若A=?，则A?B显然成立；                       若A≠?， 设t∈A，则f（t）=t，f（f（t））=f（t）=t ∴t∈B， 故A?B （2）∵f（x）=2x﹣1， ∴f（f（t））=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3=x， ∴x=1             ∴B={1}                                              （3）∵A≠?有实根，∴a 方程f（f（t））=（x2﹣a）2﹣a=x，可化为（x2﹣x﹣a）（x2+x﹣a+1）=0 设方程x2+x﹣a+1=0的解集为C，方程f（f（x））=x的解集B═A∪C ∵A=B，∴C?A       方程x2+x﹣a+1=0的判别式△=4a﹣3 ①△＜0，a时，C=??A成立 ②△=0，A=时，C={﹣}，A={，}，C?A成立 ③△＞0，a时，不合题意 由①②③得a 综上所述a∈[，] 点评： 本题考查了集合，函数的性质，方程等问题，属于中档题，计算较麻烦，分类清晰，讨论详细． 19. 已知函数f（x）=log2（a为常数）是奇函数． （Ⅰ）求a的值； （Ⅱ）若当x∈（1，3]时，f（x）＞m恒成立．求实数m的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【分析】（Ⅰ）根据奇函数的性质即可求出a的值， （Ⅱ）先判读函数f（x）的单调性，再求出最值即可得到m的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）=log2是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∴log2=﹣log2，即log2=， ∴a=1， （Ⅱ）由题意：m＜log2在x∈（1，3]时恒成立． 设1＜x1＜x2≤3， ∴g（x1）﹣g（x2）=﹣=， ∵x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0， ∴g（x1）﹣g（x2）＞0， ∴g（x）在（1，3]上为减函数， ∴f（x）=log2g（x）在（1，3]上为减函数上为减函数． 当x=3时，f（x）有最小值，即f（x）min=1， 故m＜1． 20. 已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，且AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小． 参考答案： (1)　设PA＝1，以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图所示， 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，M(1,0，)，N(，0,0)，S(1，，0)． 所以＝(1，－1，)， ＝(－，－，0)． 因为·＝－＋＋0＝0， 所以CM⊥SN. (2)＝(－，1,0)， 设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，则 即令x＝2，得a＝(2,1，－2)． 因为|cos〈a，〉|＝＝＝， 所以SN与平面CMN所成的角为45°. 21. 设D是函数y=f（x）定义域内的一个子集，若存在x0∈D，使得f（x0）=﹣x0成立，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．设函数f（x）=log（4x+a?2x﹣1），x∈[0，1]． （Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的次不动点 （Ⅱ）若函数f（x）在[0，1]上不存在次不动点，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】对数函数的图象与性质． 【专题】新定义；转化思想；构造法；函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）首先，根据所给a的值，代入后，结合次不动点的概念建