浙江省舟山市凯灵中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析

浙江省舟山市凯灵中学2022-2023学年高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设x，y满足约束条件，若目标函数 的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（　　） A． B． C．y=sin2x D． 参考答案： C 考点： 简单线性规划；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质；不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识求出m的值，利用三角函数的图象关系进行平移即可． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图， ∵m＞0， ∴平移直线， 则由图象知，直线经过点B时，直线截距最大， 此时z最大为2， 由，解得，即B（1，1）， 则1+=2， 解得m=2， 则=sin（2x+）， 则的图象向右平移后， 得到y=sin[2（x﹣）+]=sin2x， 故选：C． 点评： 本题主要考查三角函数解析式的求解以及线性规划的应用，根据条件求出m的取值是解决本题的关键． 2. 设全集，集合，则=（   ）． （A）    （B）     （C）     （D） 参考答案： A 略 3. 下面几种推理过程是演绎推理的是(   ) A．两条直线平行，同旁内角互补，如果和是两条平行直线的同旁内角， 则． B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质． C．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人 D．在数列中，由此归纳出的通项公式． 参考答案： A 略 4. 抛物线在点x=处的切线方程为（      ） A.     B.8x－y－8=0     C．x=1      D.y=0或者8x－y－8=0 参考答案： B 5. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则（    ）    A．     B．    C．  D． 参考答案： B 略 6. 计算机执行右边的程序语句后，输出的结果是（    ） A．，                B．， C．，               D．， 参考答案： B 7. 已知三棱锥的各顶点都在一个半径为的球面上， 球心在上，底面，，则球的体积与三棱锥体积之比是（　　） Ａ．      Ｂ．     Ｃ．     Ｄ． 参考答案： D 如图，    8. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A.          B.        C.       D. 参考答案： B 略 9. 已知A、B是抛物线 =2（>0）上两点，O为坐标原点，若=,且AOB的垂心恰好是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（  ） （A）＝        （B）＝      （C）＝3        （D）＝ 参考答案： D 10. 已知复数的模为，则的最大值是：（    ）           A.           B.           C.           D. 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中，若_________。 参考答案： 12. 曲线在点处的切线方程为  ▲  ． 参考答案： 略 13. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（　　） A． +=1 B． +y2=1 C． +=1 D． +=1 参考答案： A 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周长为4， ∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a， ∴4a=4， ∴a=， ∵离心率为， ∴，c=1， ∴b==， ∴椭圆C的方程为+=1． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． 14. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为、b、c ,若，则cosA=       参考答案： 15. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是　   　． 参考答案： []   【考点】直线与平面平行的性质． 【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 【解答】解：如下图所示： 分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1， ∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1， ∴MN∥EF，又MN?平面AEF，EF?平面AEF， ∴MN∥平面AEF； ∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形， ∴A1N∥AE，又A1N?平面AEF，AE?平面AEF， ∴A1N∥平面AEF， 又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF， ∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF， 则P必在线段MN上， 在Rt△A1B1M中，A1M===， 同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=， ∴△A1MN为等腰三角形， 当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长， A1O===， A1M=A1N=， 所以线段A1P长度的取值范围是[]． 故答案为：[]． 　 16. 已知直线与圆相交于两点，且，则          参考答案： 略 17. 人排成一排，则甲不站在排头的排法有         种．（用数字作答）． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，（） （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．   参考答案： 解：（1） …………………………………………………………………1分 当时，即时，，   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 在上递增；…………………………………………………3分 当时，即或时，， 由求得两根为…………………………………5分 即在和上递增； 在上递减，………………………………6分 的单调递增区间是：当时， 当或时，和 的单调递减区间是： 当或时，………………7分 （2）（法一）由（1）知在区间上递减， ∴只要 ∴     解得：． ………9分   ……………………………………………………………………12分     ……………………………………………………14分 略 19. （本小题满分9分） 如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点. (Ⅰ)求与底面所成角的大小； (Ⅱ)求证：平面； (Ⅲ)求二面角的余弦值. 参考答案： (I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC． 又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O． 连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角． ∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=． ∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°． (II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC． 建立空间直角坐标系如图， 则, ． 由M为PB中点，∴． ∴． ∴， ． ∴PA⊥DM，PA⊥DC．   ∴PA⊥平面DMC． (III)． 令平面BMC的法向量，ks5u 则，从而x+z=0；  ……①,  ，从而． ……② 由①、②，取x=?1，则．   ∴可取． 由(II)知平面CDM的法向量可取， ∴． ∴所求二面角的余弦值为－． 法二：（Ⅰ）方法同上                               （Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即， 又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而， 则 （Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在中，易得，，ks5u 故，所求二面角的余弦值为 20. 已知椭圆的离心率为，一条准线方程为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线l：y=kx+m与椭圆交于P，Q两点． ①若m=﹣2，当△OPQ面积最大时，求直线l的方程； ②当k≠0时，若以PQ为直径的圆经过椭圆的右顶点，求证：直线l过定点． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由e==，准线方程x==，求得a和c，b2=a2﹣c2，求得椭圆方程； （2）①将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及三角形的面积公式，采用换元法，利用基本不等式式的性质，求得△OPQ面积最大的最大值时，求得对应的k值，求得直线l的方程； ②AP⊥AQ，利用向量数量积的坐标运算求得5m2+16km+12k2=0，求得m和k的关系，代入即可求证直线l过定点． 【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，准线方程x==， 解得：a=2，c=， b2=a2﹣c2=1， 椭圆C的标准方程； （2）由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0， △=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0（*） 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， 则，（**） ①当m=﹣2时，代入（*）和（**）式得：，，． ∴， 又O到直线l的距离， ∴． 令，则t＞0，则 当且仅当t=2，即时等号成立，且 因此△OPQ面积最大时，直线l的方程为：y=±x﹣2， ②证明：由已知，AP⊥AQ，且椭圆右顶点为A（2，0）， ∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0， 即（1+k2）x1x2+（km﹣2）（x1+x2）+m2+4=（1+k2）+（km﹣2）?+m2+4=0， 整理得：5m2+16km+12k2=0， 解得：m=﹣2k或m=﹣，均满足（*）式， ∴当m=﹣2k时，直线l的方程为：y=kx﹣2k=k（x﹣2），过定点（2，0）与题意矛盾； 当m=﹣时，直线l的方程为y=k﹣=k（x﹣），过定点，得证． 21. （本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，,F为PD的中点，E是线段AB上的一动点．   （1）当E是线段AB的中点时，证明：AF∥平面PEC； （2）当求二面角的大小．       参考答案： （1）证明：设的中点为，连，则 且，故四边形为平行四边形， ，又平面，平面 故平面 （2）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则 可取 平面的法向量，记二面角为， 则 即二面角的大小为   22. 设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2