海南省海口市昌江中学高二数学文期末试题含解析

海南省海口市昌江中学高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是(    ) A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 首先计算出基本事件的个数，再计算出重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数，然后用古典概型概率计算公式直接计算求解即可. 【详解】所有重卦中随机取一重卦基本事件的个数为，重卦恰有3个阳爻所包含的基本事件的个数为，因此在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是，故本题选C. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算公式，正确计算出每个事件包含的基本事件的个数是解题的关键. 2. 正项等比数列｛an｝与等差数列｛bn｝满足且，则，的 大小关系为                                                          （    ）      A. =          B.＜           C.＞          D.不确定 参考答案： B 略 3. 已知若是的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A.     B. C.     D. 参考答案： B 略 4. 曲线=1与曲线=1（k＜9）的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断． 【解答】解：曲线=1表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8． 曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2， 离心率为，焦距为8． 对照选项，则D正确． 故选D． 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题． 5. 使不等式成立的充分不必要条件是 A ． 03 参考答案： B 略 6. 已知周长为c,且它的内切圆半径为r，则三角形的面积为.类似地，若四面体的表面积为，内切球半径为，则其体积是（    )     A.          B.        C.3           D.     参考答案： B 7. 若，则的值是 A．1022          B．1024        C．2046      D．2048 参考答案： C 8. 抛物线的焦点恰好与椭圆的一个焦点重合，则（   ）      参考答案： C 略 9. 观察，，，由归纳推理可得：若函数在其定义域上满足，记为的导函数，则（　　）． A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】F1：归纳推理． 【分析】由已知中，，，分析其规律，我们可以归纳推断出，奇函数的导数是偶函数，即可得到答案． 【解答】解：由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数”， ∵若函数在其定义域上满足， ∴为奇函数， ∵为的导函数， ∴． 故选：． 10. 如果直线x＋2y－1＝0和kx-y-3＝0互相垂直，则实数k的值为(    )． A.－        B．－2 C．2 D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x0是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中 （1）大前提错误 （2）小前提错误 （3）推理形式正确 （4）结论正确 你认为正确的序号为　_________　． 参考答案： （1）（3） 12. 已知球的表面积为64π,用一个平面截球，使截面圆的半径为2, 则截面与球心的距离是   ． 参考答案： 球的表面积为，则球的半径为,用一个平面截球，使截面球的半径为，截面与球心的距离是．   13. 在矩形ABCD中，对角线AC与相邻两边所成的角为α，β，则有cos2α+cos2β=1． 类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=　　． 参考答案： 2 【考点】类比推理；棱柱的结构特征． 【分析】由类比规则，点类比线，线类比面，可得出在长方体ABCDA1B1C1D1中，对角线AC1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=2，解直角三角形证明其为真命题即可． 【解答】解：我们将平面中的两维性质，类比推断到空间中的三维性质． 由在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β， 则有cos2α+cos2β=1， 我们根据长方体性质可以类比推断出空间性质， ∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如图 对角线AC1与过A点的三个面ABCD，AA1B1B、AA1D1D所成的角分别为α，β，γ， ∴cosα=，cosβ=，cosγ=， ∴cos2α+cos2β+cos2γ=， 令同一顶点出发的三个棱的长分别为a，b，c，则有cos2α+cos2β+cos2γ===2 故答案为：cos2α+cos2β+cos2γ=2． 14. 如图所示的数阵中，第64行第2个数字是________。 参考答案： 【分析】 从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，得出数列则满足递推关系式，进而求得数列的通项公式，即可求解． 【详解】由题意，从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，其中， 则满足， 则 当时，则， 所以第64行的第2个数字为． 【点睛】本题主要考查了数列的应用问题，其中解答中根据题意把从第2行开始，每一行的第2个数字的分母组成一个数列，求得数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 15. 下列函数中： （1）（2）（3）（4）（5），其中最小值为2的函数是          （填正确命题的序号） 参考答案： （1）（3） 【考点】基本不等式；函数的最值及其几何意义． 【专题】转化思想；换元法；不等式． 【分析】由基本不等式求最值的“一正、二定、三相等”，逐个选项验证可得． 【解答】解：（1）≥2=2，当且仅当|x|=即x=±1时取等号，故正确； （2）==+≥2，但当=时，x不存在，故错误； （3）≥2﹣2=2，当且仅当=即x=4时取等号，故正确； （4）的x正负不确定，当x为负数时，得不出最小值为2，故错误； （5），取等号的条件为sinx=即sinx=1，而当0＜x＜时sinx取不到1，故错误． 故答案为：（1）（3）． 【点评】本题考查基本不等式求最值，“一正、二定、三相等”是解决问题的关键，属基础题． 16. 已知变量x，y满足约束条件，则的最小值为_______ 参考答案： －3 【分析】 作出满足不等式组的可行域，由可得可得为该直线在轴上的截距， 截距越大，越小，结合图形可求的最大值 【详解】作出变量，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示： 由于可得，则表示目标函数在轴上的截距，截距越大，越小 作直线，然后把直线向平域平移，由题意可得，直线平移到时，最小， 由可得，此时． 故答案为：-3 【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题． 17. 执行下列程序框图，如果输入的是6，那么输出的是　　　　　。 参考答案： 720。 该框图的功能是计算，即 ∵　∴。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (12分) 正数列{an}的前n项和为，且． 试求（Ⅰ）数列{}的通项公式； （Ⅱ）设，{}的前n项和为，求证：．　 参考答案： 19. （本小题满分13分） 假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 （1）画出散点图； （2）若线性相关，则求出回归方程； （3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ （参考公式：，） 参考答案： （1）画出散点图如图所示：……3分。 （2）由散点图可发现，y与x呈线性相关关系…………4分 ……5分 …………6分 ……7分 则……8分     ………9分 回归方程为………………10分 （3）当时，…………12分 即估计使用10时，维修费用约为12.38万元。…………13分 20. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线． ①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的； ②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由． 参考答案： （1）当时，没有极值；当时，的极大值为，没有极小值.（2）①详见解析，②的任意一条弦均有—伴随直线. 略 21. 抛物线的顶点在原点O，它与双曲线的一个交点是,且抛物线的准线经过双曲线的一个焦点且垂直于的实轴． （1）求抛物线C1的方程及其焦点F的坐标； （2）求双曲线C2的方程及其离心率e． 参考答案： 22. 已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为 （Ⅰ）求圆C的方程； （Ⅱ）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程． 参考答案： 【考点】圆的标准方程；圆的切线方程． 【分析】（Ⅰ）由圆的方程写出圆心坐标，因为圆C关于直线x+y﹣1=0对称，得到圆心在直线上代入得到①，把圆的方程变成标准方程得到半径的式子等于得到②，①②联立求出D和E，即可写出圆的方程； （Ⅱ）设l：x+y=a，根据圆心到切线的距离等于半径列出式子求出a即可． 【解答】解：（Ⅰ）由x2+y2+Dx+Ey+3=0知圆心C的坐标为（﹣，﹣） ∵圆C关于直线x+y﹣1=0对称 ∴点（﹣，﹣）在直线x+y﹣1=0上 即D+E=﹣2，①且=2② 又∵圆心C在第二象限∴D＞0，E＜0 由①②解得D=2，E=﹣4 ∴所求圆C的方程为：x2+y2+2x﹣4y+3=0 （Ⅱ）∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设l：x+y=a ∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2 ∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于半径， 即||=，∴a=﹣1或a=3 所求切线方程x+y=﹣1或x+y=3 【点评】考查学生会把圆的方程变为标准方程的能力，理解直线与圆相切即为圆心到直线的距离等于半径．