湖南省郴州市临武县第三中学高三数学文上学期期末试题含解析

湖南省郴州市临武县第三中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将函数的图象按向量a平移后，得到的图象，则        （    ）        A．a=（1，2）        B．a=（1，－2）     C．a=（－1，2）     D．a=（－1，－2） 参考答案： 答案：B 2. 方程有解，则m的取值范围为（　　）        A．0＜ m ≤1                                              B．m ≥ 1           C．m ≤－1                                                 D．0 ≤m ＜1 参考答案： B 3. 已知=(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),则(  ) A. ⊥      B.  ∥      C. (+)⊥(－)   D. 、的夹角为α+β 参考答案： C     4.  若, 则与的夹角为 A.              B.             C.             D.  参考答案： B 5. 设曲线在点处的切线与直线垂直，则（  ） A. 2 B. C. D. 参考答案： B 略 6. 设正项等比数列{an}的前n项之积为Tn，且T14=128，则+的最小值是（　　） A． B． C．2 D．2 参考答案： A 【考点】等比数列的通项公式． 【专题】等差数列与等比数列． 分析；由等比数列可得a7a8=2，可得+==（a7+a8），由基本不等式求最值可得． 解：由题意和等比数列的性质可得T14=（a7a8）7=128， 结合数列的项为正数可得a7a8=2， ∴+==（a7+a8）≥?2=， 当且仅当a7=a8=时取等号， 故选：A． 【点评】本题考查等比数列的性质和基本不等式求最值，属基础题． 7. 已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题： ①若；　　　　②若； ③如果相交； ④若 其中正确的命题是 （  ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 参考答案： D 略 8. 已知M是△ABC内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为，x，y，则+的最小值是（　　） A．20 B．18 C．16 D．9 参考答案： B 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；向量在几何中的应用． 【分析】利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把+转化成2（+）×（x+y），利用基本不等式求得+的最小值． 【解答】解：由已知得=bccos∠BAC=2?bc=4， 故S△ABC=x+y+=bcsinA=1?x+y=， 而+=2（+）×（x+y） =2（5++）≥2（5+2）=18， 故选B． 9. 如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为(     ) A．      B．  　　 C．        D．16 参考答案： A 略 10. 已知抛物线的焦点为F，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 参考答案： D 【分析】 只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】的方程为，双曲线的渐近线方程为， 故得， 所以，，， 所以. 故选D。 【点睛】双曲线的离心率.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程为    ▲    ． 参考答案： y＝3x＋1 12. 已知正数满足，则的最小值为   ▲   ． 参考答案： 9 略 13. lg+2lg2﹣（）﹣1=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】对数的运算性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项，利用lg2+lg5=1化简求值． 【解答】解：原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1． 14. 对于曲线所在平面上的定点，若存在以点为顶点的角，使得对于曲线上的任意两个不同的点恒成立，则称角为曲线相对于点的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线相对于点的“确界角”．曲线相对于坐标原点的“确界角”的大小是          ． 参考答案：    15. 已知函数在区间的最大值为M，最小值 为m，则M+m= ． 参考答案： 7; 16. 对于集合，如果定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足下列4个条件： （ⅰ），都有； （ⅱ），使得对，都有； （ⅲ），，使得； （ⅳ），都有， 则称集合对于运算“”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“”： ①，运算“”为普通加法； ②，运算“”为普通减法； ③，运算“”为普通乘法． 其中可以构成“对称集”的有       ．（把所有正确的序号都填上） 参考答案： ①③ 17. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，直线的方程为，则点（到直线的距离为            ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知右焦点为F的椭圆M： +=1（a＞）与直线y=相交于P，Q两点，且PF⊥QF． （1）求椭圆M的方程： （2）O为坐标原点，A，B，C是椭圆E上不同三点，并且O为△ABC的重心，试探究△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是．说明理由． 参考答案： 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，），代入椭圆方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得a=2，c=1，即可得到所求椭圆方程； （2）设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理，由O为△ABC的重心，可得=﹣（+），可得C的坐标，代入椭圆方程，可得4m2=3+4k2，由弦长公式和点到直线的距离公式可得三角形的面积，化简整理，可得定值；再验证直线AB的斜率不存在，即可得到△ABC的面积为定值． 【解答】解：（1）设F（c，0），P（t，），Q（﹣t，）， 代入椭圆方程可得+=1，即t2=a2① 且PF⊥QF，可得?=﹣1， 即c2﹣t2=﹣，② 由①②可得c2=a2﹣． 又a2﹣c2=3， 解得a=2，c=1， 即有椭圆方程为+=1； （2）设直线AB的方程为y=kx+m， 代入椭圆方程3x2+4y2=12， 可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则x1x2=，x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2m=， 由O为△ABC的重心，可得=﹣（+） =（，﹣）， 由C在椭圆上，则有3（）2+4（﹣）2=12， 化简可得4m2=3+4k2， |AB|=?=? =?， C到直线AB的距离d==， S△ABC=|AB|?d=?=?=． 当直线AB的斜率不存在时，|AB|=3，d=3，S△ABC=|AB|?d=． 综上可得，△ABC的面积为定值． 19. 已知函数． （Ⅰ）当x∈（0，1）时，求f（x）的单调性； （Ⅱ）若h（x）=（x2﹣x）?f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实数根x1，x2．求证：x1+x2＞1． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）先求导，再构造函数，根据导数和函数的单调性的关系即可判断f（x）在（0，1）上的单调性， （Ⅱ）先求导，设h'（x0）=0，则x0∈（0，1），则h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由（Ⅰ）知，即可证明x1+x2＞1． 【解答】解：（Ⅰ）， 设g（x）=x﹣1﹣lnx， 则， ∴当x∈（0，1）时，g'（x）＜0， ∴g（x）＞g（1）=0， ∴f'（x）＞0， ∴f（x）在（0，1）上单调递增．                                   （Ⅱ）h（x）=x2lnx﹣ax2+ax（a＜0）， ∴h'（x）=2xlnx+x﹣2ax+a， ∴h''（x）=2lnx﹣2a+3， ∴h''（x）在（0，+∞）上单调递增， 当x→0时，h''（x）＜0，h''（1）=3﹣2a＞0， ∴必存在α∈（0，1），使得h''（x）=0，即2lnα﹣2a+3=0， ∴h'（x）在（0，α）上单调递减，在（α，+∞）上单调递增， 又h'（α）=a﹣2α＜0，h'（1）=1﹣a＞0， 设h'（x0）=0，则x0∈（0，1）， ∴h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 又h（1）=0，不妨设x1＜x2，则0＜x1＜x0，x0＜x2＜1， 由（Ⅰ）知， ∴， ∴， ∴x1+x2＞1． 20. 已知函数 （1）讨论f(x)的单调性； （2）设是f(x)的两个零点，证明：． 参考答案： （1）见解析（2）见解析 分析：（1）求导，对参数分两种情况进行讨论，令得函数的单调递增区间，令得函数的单调递减区间；（2）令，分离参数得，令，研究函数的性质，可将证明转化为证明，即证明成立，令，利用导数研究函数的增减性，可得，问题得证. 详解：（1）， 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得，则的单调递增区间为， 令，得，则的单调递减区间为． （2）证明：由得，设，则． 由，得；由，得． 故的最小值． 当时，，当时，， 不妨设，则， 等价于，且上单调递增， 要证：，只需证， ， 只需证，即， 即证； 设， 则， 令，则，， 在上单调递减，即在上单调递减， ，在上单调递增， ， 从而得证． 点睛：本题主要考查导数的应用，第一问属于易得分题，只需对参数进行分类讨论，再分别令，即可求解函数的增、减区间，进而判断其单调性；第二问解题时，首先对进行参数分离，再构造新函数，利用函数的单调性，将原问题转化为不等式恒成立问题，进而再利用导数证明. 21. （本小题12分）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点。 （Ｉ）求证：； （II）若，求二面角的大小； （Ⅲ）在（II）的条件下，侧棱上是否存在一点，使得 ？若存在，求的值；若不存在，试说明理由。 参考答案： 法一：（1）连，设交于，由题意知。以为坐标原点， 分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系，设底面边长为2，则高，所以                  故 ，即                   ……………4分 （2）由题意知，平面的一个法向量，                            平面的一个法向量为 设所求的二面角为 则，所求二面角的大小为………….8分 （3）在棱上存在一点使 由（2）知是平面的一个法向量，且， ，设 则 而 从而时， 又不在平面内，故                   ……………..12分 方法二、几何法，略 22. [选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴