湖南省娄底市胜利乡胜利中学高二数学理期末试卷含解析

湖南省娄底市胜利乡胜利中学高二数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设随机变量服从分布B(n,p),且E=1.6,D=1.28则(  ) A  n=8,p=0.2     B n=4,p=0.4       C  n=5,p=0.32      D  n=7,p=0.45 参考答案： D 略 2. 在一次马拉松比赛中，30名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编号为1﹣30号，再用系统抽样方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[130，151]上的运动员人数是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 参考答案： C 【考点】茎叶图． 【专题】对应思想；定义法；概率与统计． 【分析】根据系统抽样方法的特征，将运动员按成绩由好到差分成6组，得出成绩在区间[130，151]内的组数，即可得出对应的人数． 【解答】解：将运动员按成绩由好到差分成6组，则 第1组为（130，130，133，134，135），第2组为（136，136，138，138，138）， 第3组为（141，141，141，142，142），第4组为（142，143，143，144，144）， 第5组为（145，145，145，150，151），第6组为（152，152，153，153，153）， 故成绩在区间[130，151]内的恰有5组，故有5人． 故选：C． 【点评】本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了系统抽样方法的应用问题，是基础题目． 3. 设函数，则使得成立的x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 由已知可得：是偶函数，当时，在为增函数，利用的单调性及奇偶性将转化成：，解得：，问题得解. 【详解】因为 所以是偶函数. 当时， 又在为增函数，在为减函数 所以在为增函数 所以等价于， 解得： 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的应用，还考查了转化思想及函数单调性的判断，属于中档题。 4. 等差数列中，a1＞0，d≠0，S3=S11，则Sn中的最大值是        （     ）      A．S7                   B．S7或S8          C．S14              D．S8 参考答案： A 5. 设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3 参考答案： A 【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示． 【分析】利用向量平行的性质求解． 【解答】解：∵ =（1，2），=（m，m+1），∥， ∴， 解得m=1． 故选：A． 6. 已知抛物线的焦点为F，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（O为原点），则双曲线的离心率为 A. B. C. 2 D. 参考答案： D 【分析】 只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】抛物线的准线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 则有 ∴，，， ∴。 故选D。 【点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度。 7. 设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB的中点M，则          （    ）        A．                 B．                    C．                 D． 参考答案： C 8. 设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(   ) A．若，，则       B．若，，则 C．若，，则        D．若，，则 参考答案： B 9. 已知在数轴上0和3之间任取一实数x，则使“x2﹣2x＜0”的概率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】CF：几何概型． 【分析】首先求出满足条件的区间，利用区间长度的比求概率． 【解答】解：在数轴上0和3之间任取一实数x，对应区间长度为3，使“x2﹣2x＜0”成立的x范围为（0，2），区间长度为2，由几何概型的公式得到所求概率为； 故选C． 【点评】本题考查了几何概型的概率求法；求出事件对应区间长度，利用长度比求概率是关键． 10. 已知⊙和⊙的半径分别为，命题p：若两圆相离，则； 命题q：若两圆相交，则；则                           （ ） A．是真命题 B．是假命题 C．是真命题  D．是真命题 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知A(x, 5-x, 2x-1)、B（1，x+2，2-x），当|AB|取最小值时x的值为_______________． 参考答案： 12. 若，是第三象限的角，则=             。 参考答案： 13. 给出以下命题：⑴若，则f(x)>0；        ⑵; ⑶已知，且F(x)是以T为周期的函数，则； (4)       其中正确命题的个数为__         个 参考答案：   3个 略 14. 以下三个关于圆锥曲线的命题中： ①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线． ②方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 ③双曲线﹣=1与椭圆+y2=1有相同的焦点． ④已知抛物线y2=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切 其中真命题为　　（写出所以真命题的序号） 参考答案： ②③④ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】根据双曲线的定义，可判断①的真假；解方程求出方程的两根，根据椭圆和双曲线的简单性质，可判断②的真假；根据已知中双曲线和椭圆的标准方程，求出它们的焦点坐标，可判断③的真假；设P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q，根据抛物线的定义，可知AP+BP=AM+BN，从而 PQ=AB，所以以AB为直径作圆则此圆与准线l相切． 【解答】解：A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，当K=|AB|时，动点P的轨迹是两条射线，故①错误； 方程2x2﹣5x+2=0的两根为和2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，故②正确； 双曲线﹣=1的焦点坐标为（±，0），椭圆﹣y2=1的焦点坐标为（±，0），故③正确； 设AB为过抛物线焦点F的弦，P为AB中点，A、B、P在准线l上射影分别为M、N、Q， ∵AP+BP=AM+BN ∴PQ=AB， ∴以AB为直径作圆则此圆与准线l相切，故④正确 故正确的命题有：②③④ 故答案为：②③④ 【点评】本题④以抛物线为载体，考查抛物线过焦点弦的性质，关键是正确运用抛物线的定义，合理转化，综合性强． 15. 直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在抛物线上，则面积的最小值为________． 参考答案： 1 【分析】 通过三角形的面积公式可知当点P到直线AB的距离最小时面积最小，求出与直线2x﹣y﹣2＝0平行且为抛物线的切线的直线方程，进而利用两直线间的距离公式及面积公式计算即得结论． 【详解】依题意，A（﹣2，0），B（0，﹣2）， 设与直线x+y+2＝0平行且与抛物线相切的直线l方程为：x+y+t＝0， 联立直线l与抛物线方程，消去y得：y2+4y+4t＝0， 则△＝16﹣16t＝0，即t＝1， ∵直线x+y+2＝0与直线l之间的距离d， ∴Smin|AB|d1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，数形结合是解决本题的关键，属于中档题． 16. 球面上有十个圆，这十个圆可将球面至少分成        个区域，至多分成       个区域。 参考答案： 11，92 17. 若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为　   　． 参考答案： 3 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）． 由z=x+2y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大， 此时z最大． 由，解得，即B（1，1）， 代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3 故答案为：3． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…. （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明． 参考答案： (1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1， 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝. 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－， 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数的图象在处的切线方程； （Ⅱ）若过点(0,0)的直线l与函数图象相切，求l的方程. 参考答案： （1）（2） 【试题分析】（1）对函数解析式求导，再运用导数的几何意义求出切线的斜率，然后运用直线的点斜式方程求解；（2）先设切点坐标，再对函数求导，借助导数的几何意义求出切线的斜率，然后运用直线的点斜式方程求由l过点，∴， ∴，∴，∴，求出方程为： 解：（1）， 时，， ∴这个图象在处的切线方程为. （2）设与这个图象的切点为，方程为 ， 由过点， ∴， ∴，∴，∴， ∴方程为. 20. （本小题满分12分）设命题：，命题：； 如果“或”为真，“且”为假，求的取值范围。 参考答案： 21. 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，底面边长和侧棱长均为2，D，D1分别是BC，B1C1的中点． （1）求证：AD⊥C1D； （2）求证：平面ADC1∥平面A1D1B． 参考答案： 见解析 【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】数形结合；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）线面垂直的判定定理证明即可； （2）根据面面平行的判定定理证明即可． 【解答】（1）证明：∵底面边长均为2，D是BC中点，∴AD⊥BC﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，AD?平面ABC， ∴AD⊥BB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵BC?平面B1BCC1，BB1?平面B1BCC1，BC∩BB1=B， ∴AD⊥平面B1BCC1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵DC1?面B1BCC1， ∴AD⊥DC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）证明：连结A1C交于AC1O，连结DO，如图示： ∵O是正方形ACC1A1对角线的交点 ∴O为A1C中点 ∵D是BC的中点 ∴OD∥A1B，且OD?平面ADC1，A1B?平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∴A1B∥平面ADC1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵D，D1分别是BC，B1C1的中点， ∴AA1∥DD1，AA1=DD1， ∴四边形AA1D1D是平行四边形 ∴AD∥A1D1﹣﹣﹣﹣﹣ ∵A1D1?平面ADB1，AD?平面ADB1， ∴A1D1∥平面ADB1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵A1D1∩A1B=A1， ∴平面ADC1∥平面A1D1B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 【点评】本题考查了线面垂直的判定定理以及面面平行的判定定理，考查