湖南省益阳市沅江灵官中学高一数学理期末试卷含解析

湖南省益阳市沅江灵官中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数则（     ）． A．2                           B．3        C．4                           D．1 参考答案： B 略 2. 如图，在正方体中，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角等于（　　） Ａ．45°                   Ｂ．60°                   Ｃ．90°                   Ｄ．120° 参考答案： B 略 3. 函数的最小正周期为（  ） A. 2π         B.π         C.3π       D.均不对 参考答案： B 因为，则，则是函数的周期；而，故也是函数的周期；则选项可以排除，又题目要求最小正周期，所以排除，综上选B   4. 下列各组函数表示同一函数的是                                    （    ） A． B． C．          D． 参考答案： C 略 5. 下列函数中为偶函数又在（0，+∞）上是增函数的是（　　） A．y=（）|x| B．y=x2 C．y=|lnx| D．y=2﹣x 参考答案： B 【考点】奇偶性与单调性的综合． 【分析】对选项一一判断函数的奇偶性和单调性，注意运用定义和常见函数的性质． 【解答】解：对于A，y=（）|x|，有f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，x＞0时，f（x）=y=（）x为减函数； 对于B，y=x2，有f（﹣x）=f（x），f（x）为偶函数，x＞0时，f（x）为增函数； 对于C，y=|lnx|，x＞0，不关于原点对称，x＞0时，y=|lnx|为增函数； 对于A，y=2﹣x，不为偶函数，x＞0时，y=2﹣x为减函数． 故选：B． 6. 函数的值域是：（   ） A.     B.    C .    D. 参考答案： A 7. 设R，向量且，则(    ) A.              B.             C.            D. 10 参考答案： C 略 8. 已知点P与点关于直线对称，则点P的坐标为　　 A. (3,0) B. (－3,2) C. (－3,0) D. (－1,2) 参考答案： A 【分析】 根据题意，设P的坐标为（a，b），分析可得，解可得a、b的值，即可得答案． 【详解】设P的坐标为（a，b），则PQ的中点坐标为（，）， 若点P与Q（1，﹣2）关于x+y﹣1＝0对称，则有， 解可得：a＝3，b＝0， 则点P的坐标为（3，0）； 故选：A． 【点睛】本题考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，涉及直线与直线的位置关系，属于基础题． 9. 设集合A=。B=。则AB=（    ）A.   （B）   （C）[1，+） （D）（-，+） 参考答案： C 10. 若f（x）是R上的减函数，且f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），则当不等式|f（x+t）﹣1|＜3的解集为（﹣1，2 ） 时，t的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 参考答案： C 【考点】绝对值不等式的解法；函数单调性的性质． 【专题】综合题． 【分析】由不等式|f（x+t）﹣1|＜3，求出f（x+t）的范围，然后根据f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2），得到f（0）=4和f（3）=﹣2的值，求出的f（x+t）的范围中的4和﹣2代换后，得到函数值的大小关系，根据函数f（x）在R上单调递减，得到其对应的自变量x的范围，即为原不等式的解集，根据已知不等式的解集（﹣1，2），列出关于t的方程，求出方程的解即可得到t的值． 【解答】解：由不等式|f（x+t）﹣1|＜3， 得到：﹣3＜f（x+t）﹣1＜3，即﹣2＜f（x+t）＜4， 又因为f（x）的图象经过点A（0，4）和点B（3，﹣2）， 所以f（0）=4，f（3）=﹣2， 所以f（3）＜f（x+t）＜f（0），又f（x）在R上为减函数， 则3＞x+t＞0，即﹣t＜x＜3﹣t，解集为（﹣t，3﹣t）， ∵不等式的解集为（﹣1，2）， ∴﹣t=﹣1，3﹣t=2， 解得t=1． 故选C． 【点评】此题考查了绝对值不等式的解法，以及函数单调性的性质．把不等式解集中的﹣2和4分别换为f（3）和f（0）是解本题的突破点，同时要求学生熟练掌握函数单调性的性质． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 如图是青年歌手电视大奖赛上某一位选手的得分茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分后，则剩下数据的方差       参考答案： 15 12. 设函数,,若，则__________； 参考答案： 略 13. 如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面四个结论： ①直线BE与直线CF异面； ②直线BE与直线AF异面； ③直线EF∥平面PBC； ④平面BCE⊥平面PAD； 其中正确的是　　． 参考答案： ②③ 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】①根据三角形的中位线定理可得四边形EFBC是平面四边形，直线BE与直线CF共面； ②由异面直线的定义即可得出； ③由线面平行的判定定理即可得出； ④可举出反例 【解答】解：由展开图恢复原几何体如图所示： ①在△PAD中，由PE=EA，PF=FD，根据三角形的中位线定理可得EF∥AD， 又∵AD∥BC，∴EF∥BC， 因此四边形EFBC是梯形，故直线BE与直线CF不是异面直线，所以①不正确； ②由点A不在平面EFCB内，直线BE不经过点F，根据异面直线的定义可知：直线BE与直线AF异面，所以②正确； ③由①可知：EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，∴直线EF∥平面PBC，故③正确； ④如图：假设平面BCEF⊥平面PAD． 过点P作PO⊥EF分别交EF、AD于点O、N，在BC上取一点M，连接PM、OM、MN， ∴PO⊥OM，又PO=ON，∴PM=MN． 若PM≠MN时，必然平面BCEF与平面PAD不垂直． 故④不一定成立． 综上可知：只有②③正确， 故答案为：②③ 14. （3分）已知，，则tan（2α﹣β）=         ． 参考答案： 1 考点： 两角和与差的正切函数． 专题： 计算题． 分析： 把已知的等式的左边的分子利用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可得到tanα的值，然后把所求的式子中的角2α﹣β变为α+（α﹣β），利用两角和与差的正切函数公式化简，将各自的值代入即可求出值． 解答： 由==2tanα=1， 解得tanα=，又tan（α﹣β）=， 则tan（2α﹣β）=tan[α+（α﹣β）]===1． 故答案为：1 点评： 此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用两角和与差的正切函数公式化简求值，是一道基础题． 15. 我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法——“三斜求积术”，即△ABC的，其中a，b，c 分别为△ABC内角A，B，C的对边.若，且则△ABC的面积S的最大值为____． 参考答案： 【分析】 由已知利用正弦定理可求，代入“三斜求积”公式即可求得答案。 【详解】因为，所以 整理可得 ，由正弦定理得 因为， 所以 所以当时，的面积的最大值为 【点睛】本题用到的知识点有同角三角函数的基本关系式，两角和的正弦公式，正弦定理等，考查学生分析问题的能力和计算整理能力。 16. 已知若与的夹角为钝角，则的取值范围      . 参考答案： 略 17. 已知cos（θ），求的值 参考答案： 8 【分析】 利用诱导公式化简求解. 【详解】∵cos（θ）＝﹣sinθ， ∴sinθ， ， =， 8. 【点睛】本题主要考查了诱导公式和基本关系化简求值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知sinα=，α∈（，π）． （1）求sin（﹣α）的值； （2）求tan2α的值． 参考答案： 【考点】三角函数的化简求值． 【分析】（1）根据同角三角函数关系式以及和与差的公式计算即可． （2）根据同角三角函数关系式以及二倍角公式计算． 【解答】解：∵sinα=，α∈（，π）． ∴cosα==． 可得：tanα=． （1）sin（﹣α）=sincosα﹣cossinα=×=． （2）tan2α==． 19. 已知函数的一系列对应值如下表： （1）根据表格提供的数据求函数的一个解析式； （2）根据（1）的结果，若函数周期为，当时， 方程 恰有两个不同的解，求实数的取值范围. 参考答案： 略 20. 已知扇形的圆心角为，半径长为6cm，求： （1）弧的长； （2）该扇形所含弓形的面积． 参考答案： 解析：（1），， ． （2），． ． 21. （本小题满分14分）设直线与直线交于点． （1） 当直线过点，且与直线垂直时，求直线的方程； （2） 当直线过点，且坐标原点到直线的距离为时，求直线的方程． 参考答案： 解：由，解得点.                        ………………………2分 （1）因为⊥，所以直线的斜率，   ……………………4分 又直线过点，故直线的方程为：， 即.       …………………………6分 （2）因为直线过点，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为，即.                           ………ks5u…7分 所以坐标原点到直线的距离，解得，  …………9分 因此直线的方程为：，即.  …………10分 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证可知符合题意．……13分 综上所述，所求直线的方程为或.  ………………14分   略 22. 已知f（x）=（）2（x＞1） （1）求f（x）的反函数及其定义域； （2）若不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）对区间x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】函数恒成立问题；反函数． 【分析】（1）求出f（x）的值域，即f﹣1（x）的定义域，令y=（）2，解得x=，可得f﹣1（x）． （2）不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[，]恒成立?在区间x∈[，]恒成立，对区间x∈[，]恒成立． 【解答】解；（1）∵x＞1，∴0＜f（x）＜1．令y=（）2（x＞1），解得x=，∴f﹣1（x）=（0＜x＜1）； （2）∵f﹣1（x）=（0＜x＜1），∴不等式（1﹣）f﹣1（x）＞a（a﹣）在区间x∈[，]恒成立?在区间x∈[，]恒成立， 对区间x∈[，]恒成立． 当a=﹣1时，不成立， 当a＞﹣1时，a＜在区间x∈[，]恒成立，a＜（）min，﹣1＜a＜． 当a＜﹣1时，a＞在区间x∈[，]恒成立，a＞（）max，a无解．　 综上：实数a的取值范围：﹣1＜a＜．