山西省朔州市峪宏中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析

山西省朔州市峪宏中学2022-2023学年高二数学文期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 用数学归纳法证：（时）第二步证明中从“k到k+1”左边增加的项数是（   ） A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 参考答案： D 【分析】 分别写出当，和时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果. 【详解】当时，左边，易知分母为连续正整数，所以，共有项； 当时，左边，共有项； 所以从“到”左边增加的项数是项. 故选D 【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型. 2. 椭圆的离心率e是（     ） A．         B．           C．           D． 参考答案： D 3. 函数的导数是（　　） A． B．﹣sinx C． D． 参考答案： C 【考点】导数的乘法与除法法则． 【分析】根据导数的运算法则可得，y′==可求 【解答】解：根据导数的运算法则可得，y′== = 故选C 4. 定义为个正数的“均倒数”.若已知正数数列的前项的“均倒数”为,又,则 (   ) A.          B.           C.           D.     参考答案： C 5. 在△ABC中，若A＝60°，，则等于(　　) A．2       B．             C．  D． 参考答案： A 6. 抛物线的焦点坐标是（　　） A． B．   C．  D． 参考答案： C 略 7. 算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图： 表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图： 如果把5根算筹以适当的方式全部放入 下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（    ） A. 46 B. 44 C. 42 D. 40 参考答案： B 【分析】 先按每一位算筹的根数分类，再看每一位算筹的根数能组成几个数字. 【详解】按每一位算筹的根数分类一共有15种情况,如下 2根以上的算筹可以表示两个数字，运用分布乘法计数原理， 则上列情况能表示的三位数字个数分别为： 2，2，2，4，2，4，4，4，4，4，2，2，4，2，2， 根据分布加法计数原理，5根算筹能表示的三位数字个数为： . 故选B. 【点睛】本题考查分类加法计数原理和分布乘法计数原理，考查分析问题解决问题的能力. 8. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于  A．10　　　　　B．8　　　　　 C．4　　　　　　D．6 参考答案： D 略 9. 若点为圆的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为(　　　) A. B. C. D. 参考答案： D 试题分析：由题意可知弦MN所在直线过点P（1，1），因此要求弦MN所在直线的方程只需求出直线的斜率即可。设圆的圆心为O,由直线MN与OP垂直就可求出直线MN的斜率。 考点：本题考查直线方程的点斜式和斜率公式 点评：直线与圆往往结合到一块考查。我们要熟练掌握直线方程的五种形式，及每一种形式的特点和应用前提。例如直线方程的点斜式的特点是一点一斜率；应用前提是斜率存在。 10. 已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线x=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（　　） A．4 B． C．3 D．5 参考答案： B 【考点】双曲线的定义． 【分析】可求得抛物线y2=12x的焦点坐标，从而可求得b2及双曲线﹣=1的右焦点坐标，利用点到直线间的距离公式即可． 【解答】解：∵抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）， 依题意，4+b2=9， ∴b2=5． ∴双曲线的方程为： =1， ∴其渐近线方程为：y=±x， ∴双曲线的一个焦点F（3，0）到其渐近线的距离等于d==． 故选：B． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，求得b2的值是关键，考查点到直线间的距离公式，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若的展开式中的系数是__________． 参考答案： 35 【分析】 利用展开式的通项公式求得答案. 【详解】的展开式： 取 故答案为35 【点睛】本题考查了二项式的展开式，属于简单题. 12. 函数的单调递增区间是_______________________. 参考答案： 略 13. 如图，把椭圆的上半部分8等份， F是椭圆的一个焦点，则等分点P1、P2、…、P7分别与F的距离之和|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=      . 参考答案： 35 14. 下面是一个算法．如果输出的y的值是20，则输入的x的值是           . 参考答案： 2或6 15. 函数的最大值为____． 参考答案： 1 【分析】 先写出函数的定义域，利用导数得到函数的单调区间，由单调性即可得函数最值. 【详解】函数f(x)的定义域为，对函数求导得， =0，x=1, 当时，，则函数在上单调递增， 当时，，则函数在上单调递减， 则当x=1时函数f(x)取得最大值为f(1)=1, 故答案为：1 【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值和单调性，属于基础题. 16. 若二元一次方程组有非零解，则        。 参考答案： 17. 某种圆柱形的饮料罐的容积为V，为了使得它的制作用料最少（即表面积最小），则饮料罐的底面半径为（用含V的代数式表示）▲  ． 参考答案： 设饮料罐的底面半径为，高为，由题意可得：，故， 圆柱的表面积： ， 当且仅当，即时等号成立， 据此可知为了使得它的制作用料最少，则饮料罐的底面半径为.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据如下表（单位：人） （1）求x、y； （2）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人来自高校C的概率。 参考答案： 解：由题意可得，所以                                            （2）记从高校B抽取的2人为、，从高校C抽取的3人为、、，则从高校B、C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）（，）共10种。设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有（，）（，）（，）共3种。 因此 故选中的2人都来自高校C的概率为 略 19. 冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间有关系，某农科所对此关系进行了调查分析，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料： 日期 12月1日 12月2日 12月3日 12月4日 12月5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y/颗 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验． （Ⅰ）求选取的2组数据恰好是相邻2天数据的概率； （Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+； （Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？ （参考公式： =， =﹣．） 参考答案： 【考点】BK：线性回归方程． 【分析】（Ⅰ）用列举法求基本事件数，计算所求的概率值； （Ⅱ）由数据计算、，求出回归系数，写出回归方程； （Ⅲ）计算x=10时的值和x=8时的值，再比较得出结论． 【解答】解：（Ⅰ）设抽到不相邻的两组数据为事件A， 从5组数据中选取2组数据共有10种情况： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3）， （2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）， 其中数据为12月份的日期数，每种情况都是可能出现的， 事件A包括的基本事件有6种； ∴P（A）==； ∴选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率是； （Ⅱ）由数据，求得=×（11+13+12）=12， =×（25+30+26）=27， 由公式，求得===2.5， =﹣=27﹣2.5×12=﹣3， ∴y关于x的线性回归方程为=2.5x﹣3； （Ⅲ）当x=10时， =2.5×10﹣3=22，|22﹣23|＜2； 同样当x=8时， =2.5×8﹣3=17，|17﹣16|＜2； ∴（Ⅱ）中所得的线性回归方程可靠． 20. 在△ABC中，设． （Ⅰ）求B 的值 （Ⅱ）求的值． 参考答案： 【考点】正弦定理． 【分析】（Ⅰ）由商的关系、两角和的正弦公式化简，由诱导公式求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出角B； （Ⅱ）由正弦定理化简，化简后求出a和c的关系，由余弦定理表示出b2，代入求值． 【解答】解：（Ⅰ）∵， ∴， ， ， 又sin（A+B）=sinC≠0，∴cosB=， ∵0＜B＜π，∴B=； （Ⅱ）∵， ∴由正弦定理得，， 则，即a2+c2=2ac， 化简得，a=c， 由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB =2a2﹣a2=（2﹣）a2， ∴==2． 21. 已知圆C：，点R是直线y = x上一动点， （1）若圆C与直线y = X相离，过动点R作圆C的切线，求切线长的最小值的平方f(m) ； （2）若圆C与直线相交于P、Q两点, 且，求的值． 参考答案： （1）   f(m)= （ ） （2. 解法一：圆的方程为，圆心，半径， 过C作直线PQ垂线为：      与联立求PQ中点,    ,    又,由     解法二：设,由由韦达定理:   由 ， 得即。 略 22. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx，且f′（﹣1）=0． （1）试用含a的代数式表示b； （2）求f（x）的单调区间． 参考答案： 考点：利用导数研究函数的单调性． 专题：导数的综合应用． 分析：此题考察函数的求导和利用导数研究函数单调性．（1）可由公式求导，得出a和b的关系式．（2）求导，根据f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．该题又用到二次函数的知识分类讨论． 解答： 解：（1）由f′（x）=x2+2ax+b， ∴f′（﹣1）=1﹣2a+b=0 ∴b=2a﹣1 （2）f（x）=x3+ax2+（2a﹣1）x， ∴f′（x）=x2+2ax+2a﹣1 =（x+1）（x+2a﹣1） 令f′（x）=0，得x=﹣1或x=1﹣2a ①当a＞1时，1﹣2a＜﹣1 当x变化时，根据f′（x）与f（x）的变化情况得， 函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，1﹣2a）和（﹣1，+∞），单调减区间为（1﹣2a，﹣1） ②当a=1时，1﹣2a=﹣1，此时有f′（x）≥0恒成立，且仅在x=﹣1处f′（x）=0，故函数f（x）的单调增区间为R、 ③当a＜1时，1﹣2a＞﹣1，同理可