河北省保定市高碑店邓庄乡中学高二数学理下学期期末试题含解析

河北省保定市高碑店邓庄乡中学高二数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（　　） A．60个 B．48个 C．36个 D．24个 参考答案： C 【考点】D4：排列及排列数公式． 【分析】由题意本题的要求是个位数字是偶数，最高位不是5．可先安排个位，方法有2种，再安排最高位，方法有3种， 其他位置安排方法有A33=6种，求乘积即可． 【解答】解：由题意，符合要求的数字共有2×3A33=36种 故选C 【点评】本题考查有特殊要求的排列问题，属基本题．有特殊要求的排列问题，一般采用特殊位置优先或特殊元素优先考虑． 2. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与函数y=lnx+ln2+1的图象相切，则双曲线的离心率等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】由函数的导数的几何意义可知：则渐近线的斜率为k==，则=，解得：x0=，即可求得b=2a，双曲线的离心率e===． 【解答】解：由函数y=lnx+ln2+1，（x＞0），求导y′=，设渐近线与函数的切点为P（x0，y0）， 则渐近线的斜率为k==， ∴=，解得：x0=， ∴==2，b=2a， 双曲线的离心率e===， 故选D． 【点评】本题考查导数的几何意义及双曲线的简单几何性质，考查直线的斜率公式，属于基础题． 3. 设函数f（x）=ax+3，若f′（1）=3，则a等于（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 参考答案： C 【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值． 【分析】对f（x）求导数，令f′（1）=3，即可求出a的值． 【解答】解：∵f（x）=ax+3， ∴f′（x）=a； 又∵f′（1）=3， ∴a=3． 故选：C． 4. 已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点A（﹣3，0），且离心率，则椭圆的标准方程是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】K4：椭圆的简单性质． 【分析】根据题意，由椭圆的焦点位置以及A的坐标，可得a=3，结合离心率公式可得c的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程计算可得答案． 【解答】解：根据题意，椭圆的焦点在x轴上且过点A（﹣3，0）， 则其中a=3， 又由其离心率e==，则c=， 则b==2， 则椭圆的标准方程是+=1； 故选：D． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，关键是结合椭圆的几何图形进行分析，求出a、b的值． 5. 圆截直线所得的弦长是（       ） A．2            B．1 C．         D． 参考答案： A 略 6. 已知圆，点及点，从点观察点，要使视线不被圆挡住，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 参考答案： D 略 7. 命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　） A．a≥4 B．a≤4 C．a≥5 D．a≤5 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a≥4}的真子集，由选择项不难得出答案． 【解答】解：命题“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题，可化为?x∈[1，2]，a≥x2，恒成立 即只需a≥（x2）max=4，即“?x∈[1，2]，x2﹣a≤0”为真命题的充要条件为a≥4， 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知C符合题意． 故选C 【点评】本题为找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题． 8. 已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2﹣c2+b2=ab，则角C等于（　　） A． B．或 C． D． 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【分析】先将a2﹣c2+b2=ab变形为，再结合余弦定理的公式可求出cosC的值，进而可求出C的值． 【解答】解：∵a2﹣c2+b2=ab∴ ∴C= 故选A． 9. 已知函数，则实数等于  （    ）        A．                      B．                      C．2                        D．9 参考答案： C 10. 设实数x，y满足条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为 12，则+的最小值为（　　） A． B． C． D．4 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数可得6a+8b=12，即．然后利用“1”的代换，结合基本不等式求得最值． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 联立，解得A（6，8）， 化目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）为， 由图可知，当直线为过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6a+8b=12． ∴． 则+=（）（）=． 当且仅当a=b=时上式等号成立． 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点且与直线垂直的直线方程为    ． 参考答案： 12. 命题“"x?R，sinx>0”的否定是___▲______ 参考答案： 13. 已知，并且成等差数列，则的最小值为_      __. 参考答案： 16 14. 设命题p：c2＜c和命题q：对?x∈R，x2+4cx+1＞0，若p和q有且仅有一个成立，则实数c的取值范围是 　    　． 参考答案： 【考点】1H：交、并、补集的混合运算． 【分析】通过解二次不等式求出p真的c的范围，通过解二次不等式恒成立求出q真时c的范围；再分类讨论求出c的范围． 【解答】解：若p真则有0＜c＜1 若q真则有△=16c2﹣4＜0得 ∵p和q有且仅有一个成立 ∴当p真q假时有 ∴ 当p假q真有 ∴ 故答案为： 15. 已知，观察下列几个不等式：；；；；……；归纳猜想一般的不等式为________  . 参考答案： 16. 对于总有成立，则的范围　▲        ． 参考答案： 略 17. 已知P是抛物线y2=4x上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是　　． 参考答案： y2=2x﹣1 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】先求焦点坐标，假设动点P的坐标，从而可得中点坐标，利用P是抛物线y2=4x上的动点，可求． 【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0）设P（p，q）为抛物线一点，则：p2=4q，设Q（x，y）是PF中点，则：x=，y=，p=2x﹣1，q=2y代入：p2=4q得：y2=2x﹣1 故答案为y2=2x﹣1． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））． （1）求证：平面EFG∥平面PAB； （2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ； （3）求三棱锥C﹣EFG的体积． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）证明EF∥AB．利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAB．然后利用平面与平面平行的判定定理证明平面EFG∥平面PAB． （2）连接DE，EQ，证明PD⊥AD，AD⊥PC．推出DE⊥PC，利用直线与平面垂直的判定定理证明PC⊥平面ADQ． （3）利用等体积VC﹣EFG=VG﹣CEF，转化求解即可． 【解答】解：（1）证明：∵E、F分别是PC，PD的中点， ∴EF∥CD 又CD∥AB．∴EF∥AB． ∵EF?平面PAB，AB?平面PAB， ∴EF∥平面PAB． 同理，EG∥平面PAB，∵EF∩EG=E，EF?平面EFG，EG?平面EFG ∴平面EFG∥平面PAB．                … （2）解：连接DE，EQ， ∵E、Q分别是PC、PB的中点，∴EQ∥BC，又 BC∥AD． ∴EQ∥AD ∵平面PDC⊥平面ABCD，PD⊥DC，∴PD⊥平面ABCD．∴PD⊥AD， 又AD⊥DC，PD∩DC=D∴AD⊥平面PDC，∴AD⊥PC． 在△PDC中，PD=CD，E是PC的中点，∴DE⊥PC， ∵DE∩AD=D∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ．  … （3）VC﹣EFG=VG﹣CEF=S△CEF?GC=×（×1×1）×1=．… 19. 试比较3－与（n为正整数）的大小，并予以证明． 参考答案： 见解析 【分析】 利用作差法可得3－－＝，确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可. 【详解】证明：3－－＝， 于是确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小． 由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1， 可猜想当n≥3时，＞2n＋1， 证明如下： ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立． ⅱ假设当n＝k时，＞2k＋1成立． 那么，当n＝k＋1时， ＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1， 所以当n＝k＋1时猜想也成立， 综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有＞2n＋1． 所以当n＝1，2时，3－＜； 当n≥3时，3－＞（n为正整数）． 【点睛】本题考查大小的比较，考查作差法、考查数学归纳法，考查转化思想，属于中档题. 20. 已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点． （Ⅰ） 求证：平面B1FC∥平面EAD； （Ⅱ）求证：平面CBC1⊥平面EAD． 参考答案： 【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知及三角形中位线的性质可得DE∥CB1，AE∥FB1，即可证明平面B1FC∥平面EAD； （Ⅱ）先证明AD⊥BC，又CC1⊥AD，即可证明AD⊥平面BCC1，从而证明平面CBC1⊥平面EAD． 【解答】证明：（Ⅰ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点． ∴DE∥CB1，AE∥FB1， ∵DE∩AE=E，CB1∩FB1=B1，DE，AE?平面EAD，CB1，FB1?平面B1FC ∴平面B1FC∥平面EAD； （Ⅱ）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都相等，且D，E，F分别为BC，BB1，AA1的中点． ∴AD⊥BC， 又∵CC1⊥AD，BC∩CC1=C1， ∴AD⊥平面BCC1， 又∵AD?平面EAD， ∴平面CBC1⊥平面EAD． 　 21. 已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，x?R． （1）求函数f（x）的最小正周期，最大值，最小值； （2）求函数f（x）的单调递增区间． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性． 【专题】计算题；函数思想；三角函数的图像与性质． 【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式，然后求解周期以及最值． （2）利用正弦函数的单调区间求解函数的单调区间即可． 【解答】解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x