概率论期末复习笔记

概率论期末复习-笔记随机事件和概率六个概念随机试验和样本空间随机试验E 试验可重复 结果明确且多样 结果不可预测 样本空间和样本点 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合 样本点：样本空间集合中的元素，也就是每个可能的结果称为样本点 列举法求概率：列出所有样本空间作为分母，取符合条件的样本点作为分子随机事件样本空间这个大集合的子集称为随机事件，用大写字母48。表示随机事件的分类 基本事件：由一个样本点组成的单点集 复合事件：至少由两个基本事件组成 必然事件：样本空间本身，自己是自己的子集 不可可能事件：不包含任何样本点，也就是空集也是集合的子集事件之间的关系和运算事件之间的关系 包含关系：AW B-事件A 发生一定将导致B发生（A 包含于B,A 小 B大，小的一定确保大的发生）相等关系：两事件都属于对方，那就是同一个事件 和事件：A U B-A,B至少有一个发生 积事件：A n B（简写AB）T A,B同时发生 差事件：A-B 一 A 发生但B不发生 互斥（互不相容）：AB=。-AB不能同时发生对立(亘 逆)：AB=。且 一共就这俑事件一 一次试验中必然发生A,B中的一个事件的运算律 交换律 结合律 分配律 德摩根律(对偶律)NU方=，n反而月=7u万.中间分开或者连上，中间符号要倒过来；概率定 义：随机事件中的每个样本点X都给它一个数，记做P(x),那么就会有P(xl),P(x2).ix是个集合函数P(X)，它满足一些条件非负性：P(A)2O概率不可能为负规范性：必然事件概率为1,不可能事件概率为0 反过来不对，事实上，概率关系一般都无法确定事件关系 可列可加性：两两互斥情况下，和事件的概率=事件概率的和#公式逆事件的概率：P(A)=1-P(A).概率的基本公式#公 式 加法公式PA U8)=PA+P(B)-P(AB).P(AUBUC)=P(4)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC-PAC)+P(ABC).#公式 减法公式:减去一个事件就是乘它的逆事件P(A-B)=尸(N)-P(AB)=P(A B).,若 B u 4,则有尸(/3)=P(N)-PGS),P(B)P(A).若BeA,还有三个重要结论B的事件被A全部包含，A的概率自然大于等于有B A大B小，大的=0，小的必然也=0小的都为1 了，大的肯定也是1 P(B)0条件概率的性质(和概率的性质类似)非负性规范性逆事件概率加减法公式：和普通公式一样，加上后面的条件罢了 p(4 1 5)=p(4|+p(4 1 B)-p(4 4 1.比 二 了 .。丽j#公式乘法公式一条件概率逆运算若P(A)0,则行尸(力5)=P 附称此公式为乘法公式.三个事件的乘法公式：设 4 4,C为事件，且尸(N 4)0，则有P(ABC)=P(CAB)P(BA)P(A)事件的独立性 定 义：若满足P(A B)=P(A)P(B)则事件A B 独立 等价说法：A的发生对B的发生无影响，且 B的发生对A的发生无影响若 0 P(A)1,则事件 A.B 独立 o P(B)=P(B|A)o P(B)=P(B Z)。尸(31.4)=尸(B|N)|之后的东西没用了 如果独立，那么头上加一横也是独立的 三个事件独立两个条件：三事件两两独立三事件成堆也独立性 质：A B C 三事件相互独立，则(任意两个事件的和，积，差构成的)新事件与(另外一个事件，或他的逆)也是独立的，三大概型古典概型 特 点：样本空间有限，等可能性 计算方法：用比例表示概率对I基 本 事 件 的 个 数 明-Q中 基 本 事 件 总 数 ,几何概型一均匀分布(,月的 长 度(或 面 积、体 积)=Q的 长 度(或 面 积、体 积),n 重伯努利概型一二项分布标 志：独立重复 发生或不发生 问次数#公式设在每次试验中,事件4发生的概率P(4)=p(0 p/4?-o.t|z piA(小)=口。3()pcAx 11枚 的/=的掩限 R AD/DRA已4 V p e闽XO o-t 6/KO0|-r O U T#。吗-o.o|S*AUD)二零,-p 少 冏)”)完备事件组：事件互斥，且并起来是样本空间，则成称为这是一组完备事件组全概率公式：若A l.A n是一组完备事件组，则这个事件组的和事件B发生的概率为：每个A发生的概率乘以(在每个A条件下B发生的条件概率)之和;实际上就是P(B)=P(A1 B)+P(A2 B)+再用乘法公式展开尸5)=尸(4)尸(网4).1-1(B)0.F(X)0.f=l,2,L#例题【例 1.14】甲袋中有5 只红球,4 只臼球：乙袋中有4 只红球，5 只白球.先从甲袋中任取2只球放入乙袋中，再从乙袋中任取1 只球.求(I)取出球是白感的概率：间若已知从乙袋中取出的球是|白球，则从甲袋中取出的球是1 只白球1 只红球的概率.。外他W物 伊 用 产。/2.产7 f/期 小4型9已空4区产：2。“以 纯I吵穆战二F人您沏 二 制/城 必 圆!如 需4制 诉 处#公式贝 叶 斯 公 式若Al.An是一组完备事件组，则在B已知发生的条件下,某个部分A事件发生的概率:/、尸(4加(司4)尸(4 忸)=1 P(4)P 4)Z-1实际上公式由全概率公式导出：概率P(AjB)占总概率(P(B)的比一维随机变量及其分布三大工具随机变量：量化随机事件定义在样本空间。=旧上的实值单值宗数X=X(。)，eeQ,则该变量X(e)称为随机变量.随机变量常用大写字母XJ,Z等表示，即W e s。一X=X(e),其取值用小写字母.匚乂二等表示.离散型随机变量：X的取值有无限个或者有限可列个连续型随机变量：X的取值为某区间上的所有值随机变量的分布函数 X的分布函数就是X自变量x的概率设”是一个随机变鼠，对于任意实数X,令F(X)=P f M X ,T O X ,则称尸(X)为随机变量X的概率分布函数,简称分布函数.名式。,0分布函数的性质规范性(求参数)027(x)+oo 7分布函数代表概率，那分布函数的值域为 0,1不可能事件（x为负无穷）的分布函数值，也就是概率为0;必然事件（x为正无穷）的分布函数值，也就是概率为1 单调不减性：随机变量和分布函数的关系为单增或者不变任意 1 /，有 F(X )x0+)F(x)（求参数）性质的作用：规范性和右连续型求分布函数中的参数，也能用来判定一个函数是否能成为分布函数。#例题I9i 2.i设随机变量工的分布语数为%）=ba-T.v 0.(l+x):求 a.b.r 的值.C.X 0.GL）的黑小年利=0=7 叁*七“工。9 F(/=7 ft-I%，），。切=，g F（ot o）1匕心等=14利用分布函数求事件概率X-单个事件：为正，有等号的为此点函数值；无等号的为此点左极限值；就用1-对立(1)PXa=1 一尸X a=1 一厂(a).PXPX=a=PXa-PX a=尸(。)一 F(a-0)J两个事件(6)，寸 )一F(力Pa X b=PX b-尸X 4 a=F(b-0)-尸(a).Pa Xb=PX b-PX a=尸(A)p(a 0)(8)PaXb=PX b-P X 0,所有概率和为1。可用来判断某数列是否能成为分布列X0、PPlPlPi、Pk、利 用 分 布 列 算 概 率TU举法 求分布列 定X取 值 算 对 应X的 概 率 验 证1列 表 格#例 题【例2.2】布.10件产品中有2件次品,现任取3件.以X表示取到的次品数.求X的概率分八。，I,Z3刊*“)二 F X，以 川)二 金 飞*)=普制 C【例2.3 求 例2.2中随机变M：A泻 分 布函数F(.v).虎 竺 巴 史 图 形*求概率P X 1.5 .P 0 X 化入(2)住心分中。“)二 a连 续 型 随 机 变 量 及 其 分 布例1.设连续型随机变量X的概率密度为 典 耳 蟹2一、/=-=,0 x g-“S C n ,一=%f-I V,欠他，套 路：若随机变量片的概率密度为:R斗门:一,O W X v lI J o H l-6 I .入 刁I0,K u o言 8 S g 4 ,OWK。II,X I概率密度一用面积来表示概率 X的分布函数为F(x)(连续但齐一 引 导)，有一个，彳曜一)非负可积函数(变上限积分函数一定连续)f(x),把它叫做概率密度函数，它满足：F(x)=PX 0 判定概率密度 规范性：整个R上的积分为1(总概率为1)判定概率密度p 4-0 0f (x)dx=1.J O 0 F(x)是连续函数(因为f(x)可积，而F(x)是他的变上限积分函数，一定连续)则任何给定值的概率都是0(上下限相同)任何实数a,有尸 X =a=0.用密度求概率：随机变量X 的概率,可以用概率密度对区间积分求得PaX 8/=o,1,2;:,k!j、性质可加性可推导出一个级数泊松定理?超几何分布H(N ,M,n)N件产品中有M件正品，任取n 件，记录正品数PX=k笠/左=0,1,2：,三连续均匀分布-几何概型u(a,b)分布名称表示符号概率密度函数图像均匀分布UQb)X)=|占 a X b，0,b*正态分布NW)/(*)=-e*(-x+)Jrw标点正态分布N(0,l)H、1 T出二不e(-OO X+。,0,x0.一概率密度:区间长度分之一1f(x)=b-a0,xb,其它,分布函数0,尸(x)=xa,a x b.#例题”设理峥 包 而 出（2.5）工服装 丝 沙f 4时 工 进区a：独 缕 产,型&.卜渔 卜 测值大于3的概率.7 、q私十（X以密,次诲羽I 侬叫研圈 与 二 巧）.黑猿0.铲呼隹点一4 s4%7:（-由）-（斓 山指数分布-与时间/寿命相关E（入）（2）设随机变量Xe（2）,则有PX s+，x s=PXr,这也叫作指数分布的无记G Z性。可以理解为一个电子元件在已经使用了 3小时的条件下，还可以使用5个小时的概率，与从最开始这个电子原件能使用5个小时的概率是相等的。因 八m二丫%用 概率密度/w =Ae/X,x 0,o,x x,x00,x 0,0,x 0.(1)2 -i求尸(-i x =|-e求概率密度函数（x）；若y =3 x+i,求概率密度函数人。）。n-e-i y/.x 7。-z e r*,XXOD V。o,入 V。色 和 通：q o=,X w oJjw|福 息|例6计 靖C I一 卬=代 尸 炉=丁 仔 箱 可 卜 八 乂 士 三，C，一=&（竽）=f 1-3式 力，|o ,y of rU_ ），上Q p e T JI 0 ,W I 。，”已知x 的概率密度，和 X 与 Y的关系，求 Y 的概率密度已知连续型随机变量x的.概率密度为fx（x）,Y=g（x）.枣 y的概率密度力 .方 法：分布函数法先求随机变量Y的分布函数我以继j%（歹）=PYy=尸 g（）W歹 =（/式）公Fy（y）分段点的两个来源把 fx（x）的分段点带入Y=g（x）中,得到的Y值作为分段点 Y=g（X）自身的最值作为分段点再对分布函数求导得概率密度-0）=月00#例题求随机变量函数的概率密度【例 2.1 1】设随机变量X服从 上）L 阿 磐 I分布,求一机变里 =犬 在（0.4）内的概率分小密咬人（.）=_ _ _ _ _ _ _.J J-先写出这个均匀分布概率密度,0止求Y分布函数中y的分段点 X的概率密度的分段点：0.2.带入y=x2得y=0,y=4;y=x2自身最小值：y=0 F(y)=P(Yy)=P(x2y)当y 0时，x2不可能 y,因此为0当0y4二 1汇总整理再求导即为f(y)“Jr y”(尹在勿夕 ，X期#例题 例2.i5设劭眶的搔a 迪为也好Vg功 1.-K x o.fx（x =0 s x -zv-尸*=2,=%=%,力=1 2,）；PgNQ X 2B=L，J联合分布函数尸（K）=尸 x%丫 w 用=2 p”xtixyy1边缘分布律X的边缘分布律：P,.=，,(i=1 2)Jy的边缘分布律：p”=2 p ,(i=i,2“)i条件分布律当尸*=%=人工0时，在*=菁条件下，y的条件分布律：尸 丫=匕以=且,。=1 2)pi.当P X =%wO