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考向07一元二次方程、分式方程的解法及应用—基础巩固
【知识梳理】
考点一、一元二次方程
1.一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
它的一般形式为(a≠0)．
2.一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：把方程变成的形式，当m＞0时，方程的解为；当m＝0时，方程的解；当m＜0时，方程没有实数解．
（2）配方法：通过配方把一元二次方程变形为的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．
（3）公式法：对于一元二次方程，当时，它的解为．
（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．
方法指导：
直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．
3．一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式为．
△>0方程有两个不相等的实数根；
△＝0方程有两个相等的实数根；
△<0方程没有实数根．
上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．
方法指导： △≥0方程有实数根.
4．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程(a≠0)的两个根是，那么．
考点二、分式方程
1.分式方程的定义
分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．
方法指导：
（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.
（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.
2.分式方程的解法
去分母法，换元法．
3.解分式方程的一般步骤
(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；
(2)解这个整式方程；
(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.
口诀：“一化二解三检验”.
方法指导：
解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．
考点三、一元二次方程、分式方程的应用
1．应用问题中常用的数量关系及题型
(1)数字问题(包括日历中的数字规律)
关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．
(2)体积变化问题
关键是寻找其中的不变量作为等量关系.
(3)打折销售问题
其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝×100%．
明确这几个关系式是解决这类问题的关键．
(4)关于两个或多个未知量的问题
重点是寻找到多个等量关系，能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.
(5)行程问题
对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．
注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.
(6)和、差、倍、分问题
增长量＝原有量×增长率；
现有量＝原有量+增长量；
现有量＝原有量-降低量．
2．解应用题的步骤
(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；
(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；
(3)找出相等关系，并用它列出方程；
(4)解方程求出题中未知数的值；
(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．
方法指导：
方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．
注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．
【基础巩固训练】
一、选择题
1. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2．关于的一元二次方程的两个实数根分别是，且，则的值是（ ）
A．1 B．12 C．13 D．25
3．关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠0
4．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则m的值等于（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．0
5．在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为cm，那么满足的方程是（ ）.
A．
B．
C．
D．
6．甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
7．方程﹣=0的解是 ．
8．如果方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实根，则实数a的取值范围是___ ___．
9． 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为，可列方程为 __ ．
10．当为 时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根；此时这两个实数根是 .
11．如果分式方程 = 无解, 则 m = .
12．已知关于x 的方程 － = m有实数根，则 m 的取值范围是 .
三、解答题
13. （1）；
（2）.
14．一列火车从车站开出，预计行程450千米，当它开出3小时后，因特殊任务多停一站，耽误30分钟，后来把速度提高了0.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车的速度.
15．已知关于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有实数根，
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根为1，求m的值；
（3）设α、β是方程的两个实数根，是否存在实数m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
16．如图，利用一面墙，用80米长的篱笆围成一个矩形场地
（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750平方米？
（2）能否使所围的矩形场地面积为810平方米，为什么？
答案与解析
一、选择题
1.【答案】B；
【解析】根据配方法的步骤可知在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，
整理即可得到B项是正确的.
2.【答案】C；
【解析】∵ ∴，
解得m=5（此时不满足根的判别式舍去）或m=－1.
原方程化为，=
3.【答案】D；
【解析】依题意列方程组
，
解得k＜1且k≠0．故选D．
4.【答案】B；
【解析】有题意解得.
5.【答案】B ；
【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化简得.
6.【答案】B；
【解析】由已知，此人步行的路程为av千米，所以乘车的路程为千米。
又已知乘车的时间为b小时，故汽车的速度为
二、填空题
7．【答案】x=6；
【解析】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，
去括号得：3x﹣6﹣2x=0，
整理得：x=6，
经检验得x=6是方程的根．故答案为：x=6．
8．【答案】a＜1且a≠0；
【解析】△＞0且a≠0.
9．【答案】；
【解析】平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)
10．【答案】m=；x1=x2=2．
【解析】由题意得，△=(－4)2－4(m－)=0
即16－4m+2=0，m=．
当m=时，方程有两个相等的实数根x1=x2=2．
11．【答案】-1；
【解析】原方程可化为：ｘ＝ ｍ．
∵ 原分式方程无解 ∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１．
所以，当ｍ＝－１时，原分式方程无解.
12．【答案】当ｍ≤且ｍ≠０时；
【解析】原方程可化为：ｍｘ２－ｘ＋１＝０
当ｍ＝０时，得ｘ＝１，原分式方程无解，不符合题意舍去．
当ｍ≠０时, ⊿=１２－４ｍ≥０，解之ｍ≤
所以，当ｍ≤且ｍ≠０时，原分式方程有实数根．
三、解答题
13.【答案与解析】
（1）部分移项得：
∴x＝2
经检验：x＝2是原分式方程的根.
（2）原方程可化为：
14.【答案与解析】
设这列火车的速度为x千米/时
根据题意，得
方程两边都乘以12x，得
解得
经检验，是原方程的根
答：这列火车原来的速度为75千米/时.
15.【答案与解析】
解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，
解得m1=0，m2=﹣2，
即m的值为0或﹣2；
（3）存在．
根据题意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，
∵α2+β2﹣αβ=6，
∴（α+β）2﹣3αβ=6，
即（2m﹣1）2﹣3m2=6，
整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，
∵m≤；
∴m的值为﹣1．
16.【答案与解析】
设AD=BC=xm，则AB=（80－2x）m
（1）由题意得：x（80－2x）=750
解得：x1=15， x2=25 ，
当x=15时，AD=BC=15m，AB=50m
当x=25时，AD=BC=25m，AB=30m
答：当平行于墙面的边长为50m，斜边长为15m时，矩形场地面积为750m2；或当平行于墙面的边长为30m，邻边长为25m时矩形场地面积为750m2.
（2）由题意得：x（80－2x）=810
△=40－4×405=1600－1620=－20＜0
∴方程无解，即不能围成面积为810m2的矩形场地.
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