2021年全国高考乙卷数学（理）真题试卷（含详解）

绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.工.设 2(z +z)+3(z z)=4+6 i,贝!|z=()A.1 2z B.1+2z C.1+z D.1 i2 .已知集合5=1 卜=2+l,e Z ,T =t =4+l,e Z ,则S?T ()A.0 B.S C.T P.Z3.已知命题p:Hx e R,s i n x 1,则下列命题中为真命题的是()A.B.n PA4 C.夕八F P.-(v q)1 x4.设函数/(x)=，则下列函数中为奇函数的是()1 +XA./(X 1)1 B./(%-1)+1 c.y(x+l)-1 D./(x+l)+l5在正方体A B C。4 5 G2 中，P为 4 2 的中点，则直线P B 与 所 成 的 角 为()无 兀 -无 7 1A.-B.-C.-D.一2 3 4 66.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配 到 1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有()A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.48 0 种1TT7.把函数y =/（x）图像上所有点的横坐标缩短到原来的5 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移1 个单位长度，得到函数=$足 一的图像，则/（%）=（）A.s i nx 7%212B.s i nX 7C+一2 12C.s i n 2 x-左I 12D.s i n I 2x+128.A.7在区间 i）与a,2）中各随机取 个数，则两数之和大，的概率为（）79c 238.32D I?.魏晋时刘徽撰写的 海岛算经是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点 E，H,G在水平线A C 上，OE 和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，E G称为“表距”，GC 和 E H 都称为“表目距”，GC 与 的 差 称 为“表目距的差”则海岛的高A B=（）“表高x表距 言表目距的差卡表问C 表高X表距区 表目距的差一表同表高X表距表 目 距 的 差 表D.表高X表距表目距的差一表距r o.设ao O,若 x =a为函数/（x）=a（x-a）2（x 3的极大值点，则（）A.abC.ab cr设 3 是椭圆C:+2 =l（ab 0）的上顶点，若 C 上的任意一点P都满足I P B 区2 8,则c的离a b心率的取值范围是（）人肉）8 心1 。衅 D 同1 2.设。=2 1 n l.0 1,Z?=l n l.O 2,C=VLO4-1.则（）A.a b cB.b c aC.b a cD.c a b二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.2X 3.已知双曲线C:工:/=（机0）的一条渐近线为G x +m y=0,则C的焦距为.m1 4 .已知向量a=（1,3）,B=（3,4）,若（a 萩）则4=.I S .记A/WC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,面积为G，B=60,a1+c2=3ac 则匕=1 6 .以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选 侧 视 图 和 俯 视 图 的 编 号 依 次 为 （写出符合要求的一组答案即可）.H2 H图图三、解答题：共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.1 7 .某厂研制了一种生产高精产品设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10 110.410.110.010.110.310.610.510.4105旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和亍，样本方差分别记为S；和.求 G,S：,s；(2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果了2 2、寸 土4,则认为V 1 0新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高).2 8.如图，四棱锥尸一438的底面是矩形，底面A B C。，PD=D C =1,M为6 c的中点，(2)求二面角A P M 3的正弦值.2 1工名记S”为数列%的前项和，为 数 列 的前项积，已 知 不+了=2.(1)证明：数列出 是等差数列；(2)求 凡 的通项公式.2-0.设函数/()=1!1(工)，已知x =0是函数y =V(x)的极值点.(1 )求 4；(2)设函数g(/x)、=X+4f(一x).证 明:g(zx)、0)焦点为F ,且E与 圆 加：/+。+4)2 =1上点的距离的最小值为4.(1)求；(2)若点尸在M上，是C的两条切线，A,B是切点，求尸A B面积的最大值.(二)选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）2 2.在 直 角 坐 标 系 中，OC 圆心为。（2,1）,半径为1.（1）写出G）C的一个参数方程；（2）过点尸（4,1）作OC的两条切线.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程.选修4-5：不等式选讲（10分）2 3 .已知函数/（%）=上一。|+卜+3 .（1）当4 =1时，求不等式/（耳26的解集；（2）若求“的取值范围.绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设2（z+z）+3（z z）=4+6i,贝!|z=（）A.1 2/3.1 +2z C.1 +z P.1 z【答案】C【分析】设2=。+初，利用共规复数的定义以及复数的加减法可得出关于。、b的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数Z.【详解】设2=。+万，则-6，则 2（z+z）+3（z-z）=4a+6bi=4+6i,4。=4所以，,解得。=人=1,因此，z=l+i.6b=6故选：C.2.已知集合5=卜 卜=2 +1,62,T=f=4 +I,eZ,则S?T（）A.0 B.S C.T D.Z【答案】C【分析】分析可得T=由此可得出结论.【详解】任取f e T,则r=4+l=2（2）+L其中e Z,所以，f e S,故T q S,因此，SDT=T.故选：C.3.已知命题p ：e R,s i n x 1 ；命题 1,则卜列命题中为真命题的是（）A.P q B.-PM C.PA f D.【答案】A【分析】由正弦函数的有界性确定命题。的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于s i n O=O,所以命题P为真命题；由于y =/在R上为增函数，凶之0,所以#2e 0=l，所以命题4为真命题；所 以 为 真 命 题，p q、八f、一为假命题.故选：A.1 x4.设函数/（x）=，则下列函数中为奇函数的是（）1 +XA./（X 1）1 B./（X 1）+1 C./（X+1）1 D.+1【答案】8【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得了（）=丁 =一1+;,1+X 1+X2对于A,f（x-l）-=2不是奇函数；X2对于B,1）+1 =一是奇函数；x2对于C,f（x+l）-l=-2,定义域不关于原点对称，不是奇函数；x+22对于D,/（x+l）+l =,定义域不关于原点对称，不是奇函数.x+2故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.$在正方体A 8 C O A 4G2中，P为3Q的中点，则直线 总 与A A所成的角为（）7 1A.-2【答案】DB.71D.6兀3【分析】平移直线A A 至 Bq,将直线P B 与 A 3所成的角转化为心与BG所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接BG，P C 1,P B,因为A A BG，所以NPB0或 其 补 角 为 直 线 依 与 所 成 的 角，因为 B 4 1 平面 A&GA，所以 B B|J.,又 PC B Q i，B B i C B Q i=B ,所以PG _ L 平面P B B ,所以P Q J.P B,设正方体棱长为2,则=2P&=g。筋=&,s i n Z P B C,=-=1.所以NP8G=1.oCf 2 6故选：D6.将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配 到 1个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2 名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5 名志愿者中任选2 人，组成一个小组，有 C；种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据乘法原理，完成这件事，共有C；x4!=24()种不同的分配方案,故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.1JT7.把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的;倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移差个2 3单位长度，得到函数y=皿|一 的 图 像,则/(%)=()【答案】8/、D.sin 2,x M-I 12；【分析】解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到再利用换元思想求得y=fix)的解析表达式;解法二：从函数y=sin x-f出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=/(x)的解析I 4)表达式.【详解】解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的g倍，纵坐标不变，得到y=/(2 x)的图象，再把所得曲线向右平移。个单位长度，应当得到y=/的图象,根据已知得到了函数y=sin(x f 的图象，所以/2|x=sin(x g ,人，/万t 兀 71 t 71所以/)=sin：+舟，所以/(x)=s in仁+解法二：由已知的函数y=sin(x-f 逆向变换，第一步:向左平移?个单位长度，得到y =s i n+?-7 =5山1+专)的图象,f X 7t 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y =s i n万+五 的 图象,即为y =/(x)的图象，所以/(x)=s i n ：+总.故选：B.78.在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于一的概率为()47 23 9 2A.-B.C.D.一9 3 2 3 2 9【答案】8【分析】设从区间(0,1),(1,2)中随机取出的数分别为X,y,则实验的所有结果构成区域为O=(x,y)0 x l,l y 2,设事件A表 示 两 数 之 和 大 于,则构成的区域为A =，(x,y)0 x l,l y 2,x+y)(,分别求出Q,A对应的区域面积，根据几何概