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2023年人教版八年级数学下册
《菱形的性质与判定》分层练习
菱形的性质
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A.AB∥DC B.AC＝BD C.AC⊥BD D.OA＝OC
2.如图，在菱形ABCD中，E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF，EF与BD相交于点O，连结AO.若∠CBD＝35°，则∠DAO的度数为( )
A.35° B.55° C.65° D.75°
3.菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为( )
A.4：1 B.5：1 C.6：1 D.7：1
4.如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于( )
A.4.5 B.5 C.6 D.9
5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O、H为边AD的中点，菱形的周长为48，则OH的长是 .
6.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a﹣1)2＋＝0，那么菱形的面积等于 ．
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于 ．
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝ ．
9.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2．
(1)求菱形ABCD的周长；
(2)若AC＝2，求BD的长．
10.如图在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.
(1)证明：四边形ACDE是平行四边形;
(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周长.
菱形的判定
11.如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为( )
①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
12.下列说法中正确的是( )
A.四边相等的四边形是菱形
B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是菱形
13.如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，则四边形AECF是 ( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
14.如图，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点.若四边形ADEF是菱形，则△ABC必须满足的条件是( )
A.AB⊥AC B.AB＝AC C.AB＝BC D.AC＝BC
15.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____________(写出一个即可)．
16.如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD=5，DE=6，则AG的长是 .
17.如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD.
则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．
其中正确的是 （只填写序号）
18.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.
给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB=AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是__________(填序号).
19.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由.
20.如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE.求证：
(1)∠CEB＝∠CBE；
(2)四边形BCED是菱形．
菱形 综合问题
21.如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD.
则下列结论：①AD＝BC； ②BD、AC互相平分； ③四边形ACED是菱形.
其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
22.如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为( )
A.10cm2 B.20cm2 C.40cm2 D.80cm2
23.如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为菱形，应添加的条件是( )
A.AB∥DC B.AB=DC C.AC⊥BD D.AC=BD
24.如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
25.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD＝6，则点E到AB的距离是________．
26.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOB＝120°，CE∥BD，DE∥AC，若AD＝4，则四边形CODE的周长 ．
27.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为 ．
28.将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC＝6，则AB的长为 ．
29.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
(1)证明：四边形ADCE是菱形；
(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)
30.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F.
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；
(3)在(2)的条件下折痕EF的长．
答案
菱形的性质
1.B
2.B.
3.B.
4.A.
5.答案为：6.
6.答案为：2
7.答案为：3.5.
8.答案为：2.4．
9.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，
∴菱形ABCD的周长＝2×4＝8；
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2
∴AC⊥BD，AO＝1，
∴BO＝，
∴BD＝2.
10.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴AE∥CD，∠AOB＝90°，
又∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，
∴∠AOB＝∠EDB.
∴DE∥AC.
∴四边形ACDE是平行四边形.
(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AO＝4，DO＝3，∴AD＝CD＝5.
又∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8.
∴△ADE的周长为AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.
菱形的判定
11.A
12.A.
13.C
14.B.
15.答案为：AB＝AD(答案不唯一).
16.答案为：8.
17.答案为：①②③④．
18.答案为：菱形．
19.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(HL)；
(2)解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形，理由如下：
∵△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∵BC＝AD，
∴CE＝AF，
∵CE∥AF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形.
20.证明；(1)∵△ABC≌△ABD，
∴∠ABC＝∠ABD，
∵CE∥BD，
∴∠CEB＝∠DBE，
∴∠CEB＝∠CBE．
(2)∵△ABC≌△ABD，
∴BC＝BD，
∵∠CEB＝∠CBE，
∴CE＝CB，
∴CE＝BD
∵CE∥BD，
∴四边形CEDB是平行四边形，
∵BC＝BD，
∴四边形CEDB是菱形．
菱形综合问题
21.D
22.A
23.D
24.D
25.答案为：9.
26.答案为：16．
27.答案为：2.5.
28.答案为：2．
29.证明：(1)∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，
∴CD＝AB＝BD＝AD，
∴平行四边形ADCE是菱形；
(2)解：过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：
DF即为菱形ADCE的高，
∵∠B＝60°，CD＝BD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠BDC＝∠BCD＝60°，CD＝BC＝6，
∵CE∥AB，
∴∠DCE＝∠BDC＝60°，
又∵CD＝BC＝6，
∴在Rt△CDF中，DF＝3．
30.证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，
∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝，OE＝，
∴EF＝2OE＝2．
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