2022年浙江省温州市三溪中学高一数学理期末试卷含解析

2022年浙江省温州市三溪中学高一数学理期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知向量与的夹角是，且||=1，||=4，则在上的投影为（　　） A．﹣ B． C．﹣2 D．2 参考答案： A 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】先计算，代入投影公式计算即可． 【解答】解： =1×4×cos=﹣2， ∴在上的投影为||cos＜＞==﹣． 故选A． 2. 若=（2，1），=（﹣1，3），则=（　　） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 参考答案： B 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】利用平面向量的数量积公式求解． 【解答】解：∵=（2，1），=（﹣1，3）， ∴=﹣2+3=1． 故选：B． 3. （4分）已知函数y=f （x）在R上是偶函数，对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），当x1，x2∈且x1≠x2时，，给出如下命题：f（2a﹣x）=f（x） ①f（3）=0    ②直线x=﹣6是y=f（x）图象的一条对称轴   ③函数y=f（x）在上为增函数 ④函数y=f（x）在上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为（） A． ①② B． ②④ C． ①②③ D． ①②④ 参考答案： D 考点： 函数的零点；函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质；函数的图象． 专题： 计算题． 分析： ①令x=﹣3，代入f（x+6）=f（x）+f（3），根据函数为偶函数，得到f（3）=0； ②将f（3）=0代入，得到f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数，再由f（x）是偶函数可得，x=﹣6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴； ③根据偶函数f（x）在上为增函数，且周期为6得到函数y=f（x）在上为减函数； ④根据f（3）=0，周期为6，得到f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0，有四个零点． 解答： ①令x=﹣3，则由f（x+6）=f（x）+f（3），函数y=f （x）在R上是偶函数，得f（3）=f（﹣3）+f（3）=2f（3），故f（3）=0，故①正确． ②由f（3）=0，可得：f（x+6）=f（x），故f（x）是周期等于6的周期函数． 由于f（x）为偶函数，y轴是对称轴，故直线x=﹣6也是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②正确． ③因为当x1，x2∈，x1≠x2时，有 成立，故f（x）在上为增函数， 又f（x）为偶函数，故在上为减函数，又周期为6．故在上为减函数，故③错误． ④函数f（x）周期为6，故f（﹣9）=f（﹣3）=f（3）=f（9）=0，故y=f（x）在上有四个零点，故④正确． 故选 D． 点评： 本题考查了抽象函数的单调性，奇偶性，周期性，综合性比较强，需熟练灵活掌握，属于基础题． 4. 设函数f（x）=，则f（﹣2）+f（log212）=（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 参考答案： C 【考点】函数的值． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】先求f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和． 【解答】解：函数f（x）=， 即有f（﹣2）=1+log2（2+2）=1+2=3， f（log212）==12×=6， 则有f（﹣2）+f（log212）=3+6=9． 故选C． 【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题． 5. 已知是第二象限角，为其终边上一点且，则的值 A．5          B．           C．          D． 参考答案： A 由题意得，解得． 又是第二象限角， ∴． ∴． ∴．选A．   6. 一个几何体的表面展开平面图如图．该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？ A.前；程        B .你；前    C.似；锦      D.程；锦 参考答案： A 略 7. 若指数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值的差是1，则底数a为(     ) A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】指数函数单调性的应用． 【专题】计算题． 【分析】根据0＜a＜1，y=ax在上单调递减，可以求出指数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值，再作差，解方程即可求得结果． 【解答】解：∵0＜a＜1，y=ax在上单调递减， 故ymax=，ymin=a， ∵数函数y=ax（0＜a＜1）在上的最大值与最小值的差是1， ∴，解得a=， 故选B． 【点评】此题是中档题．本题主要通过最值，来考查指数函数的单调性．一定记清楚，研究值域时，必须注意单调性． 8. 已知向量∥，则x=(     ) A.9              B.6                C.5               D.3 参考答案： B 略 9. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，下面属于互斥而不对立的两个事件是（ ） A．至少有一个黒球与都是红球          B．至少有一个黒球与都是黒球    C．至少有一个黒球与恰有1个红球      D．恰有2个黒球与恰有2个红球 参考答案： D 10. 程序框图符号“     ”可用于       A. 输出a=10      B. 赋值a=10     C. 判断a=10      D. 输入a=1 参考答案： B 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数y=x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是　  　． 参考答案： [，3] 【考点】二次函数的性质． 【分析】根据函数的函数值f（）=﹣，f（0）=﹣4，结合函数的图象即可求解 【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x﹣4=（x﹣）2﹣， ∴f（）=﹣，又f（0）=﹣4， 故由二次函数图象可知： m的值最小为； 最大为3． m的取值范围是：≤m≤3． 故答案[，3] 12. 设，，若、夹角为钝角，则的取值范围是  ★  ； 参考答案： 13. 已知数列中，，则________ 参考答案：        14. 圆的一条经过点的切线方程为______． 参考答案： 【分析】 根据题意，设为，设过点圆的切线为，分析可得在圆上，求出直线的斜率，分析可得直线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案． 【详解】根据题意，设为，设过点圆的切线为， 圆的方程为，则点在圆上， 则， 则直线的斜率，则直线的方程为，变形可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的切线方程，注意分析点与圆的位置关系． 15. 设函数f（x）=log2（3﹣x），则函数f（x）的定义域是         ． 参考答案： {x|x＜3} 【考点】对数函数的定义域． 【专题】计算题；函数的性质及应用． 【分析】利用对数函数的定义域，令真数大于0即可． 【解答】解：∵f（x）=log2（3﹣x）， ∴3﹣x＞0， ∴x＜3． ∴函数f（x）的定义域是{x|x＜3}． 故答案为：{x|x＜3}． 【点评】本题考查对数函数的定义域，属于基础题． 16. 对于函数, 存在一个正数,使得的定义域和值域相同, 则非零实数的值为__________. 参考答案： 解析: 若，对于正数，的定义域为，但的值域，故，不合要求.若，对于正数，的定义域为.由于此时，故函数的值域.由题意，有，由于，所以. 17. sin（﹣1740°）=　   　． 参考答案： 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】原式先利用奇函数的性质化简，将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣sin1740°=﹣sin（5×360°﹣60°）=sin60°=， 故答案为：． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）（2015秋?天津校级月考）利用定义判断函数求y=在区间[3，6]上的单调性，并求该函数在[3，6]上的最大值和最小值． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质．  【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据单调性的定义，在区间[3，6]上任取两个变量x1，x2，且x1＜x2，通过作差判断y1，y2的关系即可得出该函数在[3，6]上的单调性，而根据单调性即可求出该函数在[3，6]上的最大值，最小值． 【解答】解：设x1，x2∈[3，6]，且x1＜x2，则： ； 由x1，x2∈[3，6]，x1＜x2得，x2﹣x1＞0，（x1﹣2）（x2﹣2）＞0； ∴y1＞y2； ∴y=在区间[3，6]上单调递减； ∴该函数在[3，6]上的最大值为，最小值为． 【点评】考查函数单调性的定义，以及根据函数单调性的定义判断函数单调性的过程，以及根据函数单调性求函数的最值． 19. 已知为锐角三角形，，，分别为角，，所对的边，且． （1）求角． （2）当时，求面积的最大值． 参考答案： 见解析 （）正弦定理：， ∴， ∵，∴． （）余弦定理是：， ∴， 又∵， ∴， ， 当仅当时取得 ∴． 20. （12分）在中，，． （1）求的值； （2）设的面积，求的长． 参考答案： 解：(1)， （2）       略 21. 设，． （）当时，求，． （）当时，求实数的取值范围． 参考答案： 见解析 解：（）当时，或， ， ∴，． （）或，， ∵, ∴，， 故实数的取值范围是：． 22. （12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，，则得到函数y=f（x）． （Ⅰ）求f（1）的值； （Ⅱ）对于任意a∈（0，+∞），求函数f（x）的最大值． 参考答案： 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】（Ⅰ）画出图形，建立直角坐标系，即得y=f（x）的解析式，代值计算即可 （Ⅱ）通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出． 【解答】解：（1）如图所示，建立直角坐标系． ∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0）， ∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）． ∵=x，（0≤x≤1）． ∴=+x=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa）， ∴=﹣=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa） ∴y=f（x）=?=（2﹣x，﹣xa）?（2﹣x，a﹣xa） =（2﹣x）2﹣ax（a﹣xa） =（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4． ∴f（1）=a2+1﹣（4+a2）+4=1 （Ⅱ）由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4． 可知：对称轴x0=． 当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4． 当a＞时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增． 又f（0）=4，f（1）=1， ∴f（x）max=f（0）=4． 综上所述函数f（x）的最大值为4 【点评】本题考查了数量积运算、分类讨论、二次函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．