广东省茂名市第十七高级中学高二数学理月考试题含解析

广东省茂名市第十七高级中学高二数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若复数是纯虚数，则实数a的值为（  ） A．1 B．3 C．1或3 D．-1 参考答案： B 2. i是虚数单位，复数 =（　　） A．+i B．﹣1+i C．1﹣i D．﹣+i 参考答案： C 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解： =， 故选：C． 　 3. 平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是                         （  ） A．三棱柱         B．三棱台         C．三棱锥          D．正方体 参考答案： C 4. 已知，则函数的零点的个数为（   ）个. （A）3         （B）4          （C）5         （D）6 参考答案： C 略 5. 如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CC1=2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】计算题． 【分析】根据题意可设CB=1，CA=CC1=2，分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系，得到A、B、B1、C1四个点的坐标，从而得到向量与的坐标，根据异面直线所成的角的定义，结合空间两个向量数量积的坐标公式，可以算出直线BC1与直线AB1夹角的余弦值． 【解答】解：分别以CA、CC1、CB为x轴、y轴和z轴建立如图坐标系， ∵CA=CC1=2CB，∴可设CB=1，CA=CC1=2 ∴A（2，0，0），B（0，0，1），B1（0，2，1），C1（0，2，0） ∴=（0，2，﹣1），=（﹣2，2，1） 可得?=0×（﹣2）+2×2+（﹣1）×1=3，且=， =3， 向量与所成的角（或其补角）就是直线BC1与直线AB1夹角， 设直线BC1与直线AB1夹角为θ，则cosθ== 故选A 【点评】本题给出一个特殊的直三棱柱，求位于两个侧面的面对角线所成角的余弦之值，着重考查了空间向量的坐标运算和异面直线及其所成的角的概论，属于基础题． 6. 若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 参考答案： D 【考点】椭圆的定义． 【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k的不等式，求得k的范围． 【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆 ∴故0＜k＜1 故选D． 【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题． 7. 设函数（）满足，，则函数的图像可能是（     ）                                                                　                                            参考答案： B 8. 如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（　　） A．a＞3 B．a＜﹣2 C．a＞3或a＜﹣2 D．a＞3或﹣6＜a＜﹣2 参考答案： D 【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程． 【分析】利用方程表示焦点在x轴上的椭圆，建立不等式，即可求得实数a的取值范围． 【解答】解：由题意，∵方程表示焦点在x轴上的椭圆， ∴a2＞a+6＞0，解得a＞3或﹣6＜a＜﹣2 ∴实数a的取值范围是a＞3或﹣6＜a＜﹣2 故选D． 9. 已知命题 “”,则为 A.     B. C.     D. 参考答案： C 10. 已知条件p：|x＋1|>2，条件q：5x－6>x2，则綈p是綈q的(  ) A．充分不必要条件   B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则 _____  参考答案： 4 12. 给出下列四个命题： ①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定“?x∈R，cosx≤0” ②a，b，c是空间中的三条直线，a∥b的充要条件是a⊥c且b⊥c ③命题“在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB”； ④若“p∧q”是假命题，则p，q都是假命题； 其中的真命题是　　．（写出所有真命题的编号） 参考答案： ①③ 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】①含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论； ②空间，同时垂直同一直线的两直线不一定平行； ③在△ABC中，若A＞B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB； ④“p∧q”是假命题，则p，q有假命题； 【解答】解：对于①含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故①是真命题； 对于②，空间，同时垂直同一直线的两直线不一定平行，故②是假命题； 对于③，在△ABC中，若A＞B，则a＞b，则2RsinA＞2RsinB，则sinA＞sinB，故③是真命题； ④“p∧q”是假命题，则p，q有假命题，故④是假命题； 故答案为：①③ 13. 若圆M的方程为x2+y2=4，则圆M的参数方程为         ． 参考答案： 【考点】圆的参数方程． 【专题】对应思想；坐标系和参数方程． 【分析】根据平方关系可求得出圆M的参数方程． 【解答】解：由cos2α+sin2α=1得， 圆M：x2+y2=4的参数方程可为， 故答案为：． 【点评】本题考查利用平方关系求出圆的参数方程，属于基础题． 14. 设点在直线上，且到原点的距离与到直线的距离相等，则点坐标是　　　　　　． 参考答案： 或 15. 已知向量a＝(1,3)，b＝(3，n)，若2a－b与b共线，则实数n的值是________． 参考答案： 9 16. 抛物线的弦轴，若，则焦点F到直线AB的距离为           。 参考答案： 2 略 17. 从某校的高一学生中采用系统抽样法选出30人测量其身高，数据的茎叶图如图（单位：cm）：若高一年级共有600人，据上图估算身高在1.70m以上的大约有　　人． 参考答案： 300 【考点】简单随机抽样． 【分析】由题意，30人中身高在1.70m以上的概率为，即可得出结论． 【解答】解：由题意，30人中身高在1.70m以上的概率为， ∴高一年级共有600人，估算身高在1.70m以上的大约有600×=300人． 故答案为300． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在中，三个内角A,B,C的对边为a,b,c，且A,B,C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证为等边三角形。   参考答案： .证明：A,B,C成等差数列得，（3分） ，a,b,c成等比数列及余弦定理得a=c,（8分） 所以为等边三角形   略 19. （12分）如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，设小正方形的边长为多少时，盒子容积最大？最大值为多少？ 参考答案：   考点： 函数模型的选择与应用．3804980 专题： 计算题． 分析： 设小正方形的边长为xcm，则盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x为三次函数，用求导法，可得x=1时，函数y取得最大值，此时盒子容积最大． 解答： 解：设小正方形的边长为xcm，则x∈（0，）； 盒子容积为：y=（8﹣2x）?（5﹣2x）?x=4x3﹣26x2+40x， 对y求导，得y′=12x2﹣52x+40，令y′=0，得12x2﹣52x+40=0，解得：x=1，x=（舍去）， 所以，当0＜x＜1时，y′＞0，函数y单调递增；当1＜x＜时，y′＜0，函数y单调递减； 所以，当x=1时，函数y取得最大值18； 所以，小正方形的边长为1cm，盒子容积最大，最大值为18cm3． 点评： 本题考查了简单的三次函数模型的应用，利用求导法求得三次函数在其定义域上的最值问题，是中档题． 20. (本小题满分12分)如图，在正方体ABCD中，E、F分别为、中点。 （1）求证：EF//平面ABCD； （2）求两异面直线BD与所成角的大小。 参考答案： (1）连接AC，E、F分别为、中点，     又， …………………..…..……………………………6分 （2）连接,,容易证明四边形是平行四边形,, 两异面直线BD与所成角为,易知是等边三角形, 两异面直线BD与所成角的大小为……………………….…..………..12分 21. 已知函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x＋b (a，b∈R)，其图象在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y－3＝0. (1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[－2,4]上的最大值。 参考答案： 略 22. 已知且，求证： 参考答案： 证明：由得 ∴……………………………（10分） 当且仅当即时取等号……………………………………………（12分） 略