湖南省常德市石门县第六中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省常德市石门县第六中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知f(x)=sin（2019x+）+cos（2019x﹣）的最大值为A，若存在实数x1、x2，使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（　　） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 先化简，得，根据题意即求半个周期的A倍． 【详解】解：依题意 , ， ，， ， 的最小值为， 故选C． 【点睛】本题考查了正弦型三角函数的图像与性质，考查三角函数恒等变换，属中档题． 2. 已知实数满足：，，则的取值范围是 A． B． C． D． 参考答案： 画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令 ，则，先画出直线，再平移直线， 当经过点，时，代入，可知，∴， 故选． 3. 设随机变量，且，则实数的值为(   ) A． 4　            B． 6　             C． 8　          　   D．10 参考答案： A 由题意知 4. 已知偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数则y＝f(x)－g(x)的零点个数为(　　) A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 参考答案： B y＝f(x)－g(x)的零点个数即为f(x)=g(x)的根的个数，即y＝f(x)和y＝g(x)的图象交点个数，作出两函数图象，如图所示，共有三个交点. 故选B. 点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题， （1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数； （3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 5. 已知向量和满足条件：且．若对于任意实数t，恒有，则在、、、这四个向量中，一定具有垂直关系的两个向量是（　　） 　 A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 参考答案： B 考点： 数量积判断两个平面向量的垂直关系． 专题： 平面向量及应用． 分析： 把已知不等式平方可得对于任意实数t，不等式（t+1）≥2 恒成立，故有=0，即 ?（）=0，可得 与一定垂直，从而得出结论． 解答： 解：把已知不等式平方可得 a2﹣2t+t2?≥+﹣2， 化简可得 （t2﹣1）≥2（t﹣1），即 （t+1）≥2． 由题意可得，对于任意实数t，（t+1）≥2 恒成立，故有=0， 即 ?（）=0， ∴ 与一定垂直， 故选B． 点评： 本题主要考查两个向量的数量积公式，求向量的模，两个向量垂直的条件，属于中档题． 6. 设等比数列的前n项和为，若，，则（ ） A．17       B．33        C．-31          D．-3 参考答案： B 7. 已知点F (-c,0) (c >0)是双曲线的左焦点，过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆x2+y2=c2交于点P，且点P在抛物线y2=4cx上，则该双曲线的离心率的平方等于 A.  B.       C.      D. 参考答案： D 略 8. 若的展开式中的系数是80，则实数a的值是 　 A．-2　　　　     　B. 　　   　　C.    　　　　D. 2 参考答案： 答案：D 解析：的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2，选D 9. 设集合，，则等于 （A）　（B）　　（C）　（D）或 参考答案： 答案：A 10. 我校在模块考试中约有1000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N(90，a2)(a>0,试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为(    ) A．600    B．400    C．300     D．200 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设是定义在上，且以1为周期的函数，若函数在区间上的值域为，则在区间上的值域为________. 参考答案： 略 12. 若x，y满足约束条件，则目标函数的最大值等于_______． 参考答案： 2 【分析】 画出可行域，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为. 【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画出可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.   13. 在中，，是内一点，且满足，则=   __    ； 参考答案： -4 14. 若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在上是增函数，则a＝＿＿＿. 参考答案： 在上是增函数，则，所以。若，则函数单调递增，此时有，，此时不成立，所以不成立。若，则函数单调递减，此时有，，此时成立，所以. 15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为          . 参考答案： 2n 16. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若．，则此球的表面积等于_________． 参考答案： 17. 点N是圆上的动点，以点为直角顶点的直角△ABC另外两顶点B,C在圆上，且BC的中点为M，则的最大值为________. 参考答案：     ∴，则 即表示以为圆心，为半径的圆 ∴的最大值为 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）设向量，， （1）若，求的值； （2）设函数，求的最大值。 参考答案： 19. 向量将函数的图象按向量平移后得到函数的图象。（1）求函数的表达式；（2）若函数在上的最小值为，求的值域。 参考答案： 解：设上任一点对应上的点     则， 且        得   （2）函数的对称轴为       ①当时，       ②时，       ③时，       得 ①当时，单调递减                     ②当时，单调递减                     ③当时，单调递减                          得：的值域为 略 20. 如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．   （1）求证：∥平面； （2）求证：； （3）求二面角的大小． 参考答案： AB平面PDE         6分 PE?平面PDE， ABPE ．         7分 （Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD AB，PD平面ABC．   8分 如图，以D为原点建立空间直角坐标系 · B(1，0，0)，P(0，0，)，E(0，，0) ， 略 21. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面ABB1A为矩形，，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，BC⊥AB1． （1）证明：CD⊥AB1； （2）若，求二面角A﹣BC﹣B1的余弦值． 参考答案： 【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】（1）推导出DB⊥AB1，BC⊥AB1，从而AB1⊥平面BDC，由此能证明CD⊥AB1． （2）以O为坐标原点OA、OD、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣B1的余弦值． 【解答】证明：（1）∵△AB1B与△DBA相似，∴DB⊥AB1， 又BC⊥AB1，BD∩BC=B， ∴AB1⊥平面BDC， ∵CD?平面BDC，∴CD⊥AB1．… 解：（2）∵，∴在△ABD中， ∴△BOC是直角三角形，且BO⊥CO． 由（1）知CO⊥AB1，则CO⊥平面ABB1A1， 以O为坐标原点OA、OD、OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则， =（0，，），=（﹣，﹣，0），=（﹣，，0）， 设平面ABC，平面BCB1的法向量分别为=（x，y，z），=（a，b，c）， 则，∴取x=，得=（）， ，∴取a=1，得=（1，，﹣2）， ∴cos＜＞=﹣， 又如图所示A﹣BC﹣B1为钝二面角 ∴二面角A﹣BC﹣B1的余弦值为．… 22. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°， ∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点，PA = 2AB = 2。 (Ⅰ) 求证：CE∥平面PAB;     ( II ) 求四面体PACE的体积. 参考答案： (Ⅰ)法一：   取AD得中点M，连接EM,CM. 则EM//PA             ……………………………1分 因为 所以，     ……………………… 2分 在中， 所以， 而,所以,MC//AB. ……………………… 3分 因为 所以，      ……………………… 4分 又因为 所以， 因为 …… 6分 法二：     延长DC,AB,交于N点，连接PN. ……1分 因为 所以，C为ND的中点.                        ………………………3分 因为E为PD的中点，所以，EC//PN       因为                        ………………………6分 （Ⅱ）法一：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=………… 7分 因为，，所以，           ……………… 8分 又因为 所以，                       ………………………10分 因为E是PD的中点 所以点E平面PAC的距离 ， 所以，四面体PACE的体积 ……12分 法二：由已知条件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= 因为， 所以，   ……………… 10分 因为E是PD的中点 所以，四面体PACE的体积     ……………… 12分