辽宁省铁岭市图昌实验中学2022年高三数学理联考试题含解析

辽宁省铁岭市图昌实验中学2022年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. ，则点的轨迹一定过的   （    ） A、外心     B、内心     C、重心     D、垂心 参考答案： B 略 2. 已知命题，使；命题，，则下列判断正确的是（   ） A．为真         B．为假      C．为真        D．为假 参考答案： B 试题分析：根据正弦函数的值域可知命题为假命题，设，则，所以在上单调递增，所以，即在上恒成立，所以命题为真命题，为假命题，故选B.   3. 已知k＜0，则曲线和有相同的(     ) A．顶点 B．焦点 C．离心率 D．长轴长 参考答案： B 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】计算题；规律型；函数思想；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】求出两个椭圆的焦距，判断选项即可． 【解答】解：曲线的焦距为：2； k＜0，的焦距为：2=2． 焦点坐标都在x轴上，焦点坐标相同． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力． 4. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 参考答案： B 【分析】 根据程序框图中的条件逐次运算即可. 【详解】运行第一次， ， ， 运行第二次， ， ， 运行第三次， ， ， 结束循环，输出 ，故选B. 【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查. 5. 若椭圆mx2+ny2=1与直线x+y-1=0交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为则=（   ） A     B        C      D 参考答案： B 6. 已知动点P(m,n)在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的最小值是 A.4 B.3 C. D. 参考答案： D 做出不等式组对应的平面区域OAB.因为，所以的几何意义是区域内任意一点与点两点直线的斜率。所以由图象可知当直线经过点时，斜率最小，由，得，即,此时,所以的最小值是，选D. 7. 已知，则是成立的 A 充要条件    B 充分不必要条件   C 必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 8. 在平行四边形ABCD中，,E为CD的中点．若，   则AB的长为 A.             B.1            C．              D．2 参考答案： D 9. 现有四个函数：①y=x?sinx；②y=x?cosx；③y=x?|cosx|；④y=x?2x的图象（部分）如图： 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是（　　） A．①④③② B．③④②① C．④①②③ D．①④②③ 参考答案： D 【考点】3O：函数的图象． 【分析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【解答】解：根据①y=x?sinx为偶函数，它的图象关于y轴对称，故第一个图象即是； 根据②y=x?cosx为奇函数，它的图象关于原点对称，它在（0，）上的值为正数， 在（，π）上的值为负数，故第三个图象满足； 根据③y=x?|cosx|为奇函数，当x＞0时，f（x）≥0，故第四个图象满足； ④y=x?2x，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第2个图象满足， 故选：D． 10. 设是虚数单位，若复数是纯虚数，则的值为（    ） A．          B．         C．1     D．3 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设、满足约束条件：，则的最大值是　　　　　。   参考答案： 答案：3 12. 若椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为，最大值为，则该椭圆的短轴长为     . 参考答案： 【测量目标】数学基本知识与基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识. 【知识内容】图形与几何/曲线与方程/椭圆的标准方程和几何性质. 【试题分析】椭圆上到焦点的距离最大和最小的点为椭圆长轴的两个端点，所以，所以,故答案为. 13. 如图所示，已知长方形ABCD中，BC=2AB，△EFG与△HIJ均为等边三角形，F、H、G在AD上，I、E、J在BC上，连接FI，GJ，且AB∥FI∥GJ，若AF=GD，则向长方形ABCD内投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为　　． 参考答案： 【考点】几何概型． 【分析】根据几何概型的概率计算公式，设BC=2AB=2，AF=GD=x， 根据勾股定理求出x的值，由对称性求出阴影面积，计算所求的概率值． 【解答】解：长方形ABCD中，设BC=2AB=2，AF=GD=x， ∴FG=2﹣2x， 由勾股定理得（1﹣x）2+12=（2﹣2x）2， 解得x=1﹣， ∴FG=； 由对称性知， S阴影=S矩形FGJI=FG?IF=××1=； ∴该点落在阴影区域内的概率为 P===． 故答案为：． 【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，解题的关键是计算阴影部分的面积，是基础题． 14. 已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集是      . 参考答案： 考点：1.函数的奇偶性；2.解绝对值不等式. 15. （5分）已知m，n为正数，实数x，y满足=0，若x+y的最大值为27，则m+n=　　． 参考答案： 54 【考点】： 函数的最值及其几何意义． 【专题】： 计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】： 由题意，+=，从而得到≥，令x+y=u，则u2﹣9u﹣9（m+n）≤0，从而得27是方程u2﹣9u﹣9（m+n）=0的解，从而求解． 解：由题意， +=， 则（+）=?， 则由≥可得， ≥， 令x+y=u， 则上式可化为 u2﹣9u﹣9（m+n）≤0， 又∵u=x+y的最大值为27可知， 27是方程u2﹣9u﹣9（m+n）=0的解， 即27×27﹣9×27﹣9（m+n）=0， 解得m+n=27×2=54， 故答案为：54． 【点评】： 本题考查了基本不等式的应用及不等式与方程的解的关系，属于中档题． 16. 在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如下所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据 ，在如图所示的程序框图中,x是这4个数据的平均数，则输出的v的值为______． 参考答案： 略 17. 已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·(＋)的值为             ． 参考答案： 6 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）已知直线为参数), 曲线  （为参数）. (I)设与相交于两点,求； (II)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值. 参考答案： （I）的普通方程为的普通方程为 联立方程组解得与的交点为,, 则.    （II）的参数方程为为参数).故点的坐标是,从而点到直线的距离是       , 由此当时,取得最小值,且最小值为. 19. 如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形， . （1）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD； （2）求二面角P-AB-C的余弦值. 参考答案： 解：（1）证明：取的中点，连接， 因为分别是的中点，所以且， 因为，所以且，所以, 又平面平面，所以平面. （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设， 则， , 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 同理可求平面的一个法向量为， 平面和平面为同一个平面， 所以二面角的余弦值为.   20. 已知各项均大于1的数列满足：。 （I）求证：数列是等比数列； （II）求证：。 参考答案： 略 21. 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与△CDE所在的平面交于CD， 且AE⊥平面CDE，AE=1． （Ⅰ）求证：CD⊥平面ADE； （Ⅱ）求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 参考答案： 【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离． 【分析】（Ⅰ）由已知得AD⊥CD，AE⊥CD，由此能证明CD⊥面ADE． （Ⅱ）过E作EF⊥AD交AD于F，连BF，则∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，由此能求出BE与平面ABCD所成角的余弦值． 【解答】（本小题满分15分） 证明：（Ⅰ）∵正方形ABCD，∴AD⊥CD，（2分） ∵AE⊥平面CDE，∴AE⊥CD，（5分） 又∵AE∩AD=A， ∴CD⊥面ADE．过E作EF⊥AD交AD于F，连BF， ∵CD⊥面ADE，CD⊥EF，CD∩AD=D，（9分） ∴EF⊥平面ABCD， ∴∠EBF为BE与平面ABCD所成的角，（12分） ∵BE=，，∴， ∴． ∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为．（15分） 【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 22. （本小题满分10分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C的参数方程为（为参数），点Q的极坐标为。 （I）化圆C的参数方程为极坐标方程； （II）直线过点Q且与圆C交于M，N两点，求当弦MN的长度为最小时，直线 的直角坐标方程。 参考答案： (Ⅰ)圆C的直角坐标方程为，…2分 又                 ……………4分 ∴圆C的极坐标方程为 ……………… 5分 （Ⅱ）因为点Q的极坐标为，所以点Q的直角坐标为（2，-2）……7分 则点Q在圆C内，所以当直线⊥CQ时，MN的长度最小 又圆心C（1，-1），∴， 直线的斜率                               ……………………… 9分 ∴直线的方程为，即      ……………………10分