2022年北京古城高级中学高一数学理期末试题含解析

2022年北京古城高级中学高一数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 根据表格中的数据可以判定方程的一个根所在的区间为（    ） 1 2 3 4 5 0 0.693 1.099 1.386 1.609 1 0 1 2 3 A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 参考答案： C 令， 由表格数据可得. 由零点存在性定理可知，在区间内必有零点.   2. 设D为△ABC所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是（   ） A. B. C. D. 参考答案： A 【详解】∵ ∴?=3(?)； ∴=?. 故选：A. 3. 如图是一个平面图形的直观图，斜边，则该平面图形的面积是（      ） 参考答案： 4. （多选题）已知，角的终边经过点，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. D. 参考答案： AC 【分析】 先通过终边上点的坐标求出然后代入分段函数中求值即可. 【详解】因为角的终边经过点, 所以, 所以,, 所以,. 故选AC. 【点睛】本题考查了任意角三角函数的定义,分段函数的计算求值,难度较易. 5. 函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（0，1） D．（1，2） 参考答案： C 【考点】函数零点的判定定理． 【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案． 【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上， 故选C． 6. .若，则（    ） A.    B.    C.    D. 参考答案： C 略 7. 向高为H的水瓶（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】函数的图象． 【分析】从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，选出答案． 【解答】解：从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽． 则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢， 那么从函数的图象上看， C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合；A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件． 故选：D 【点评】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键． 8. 化简 A.　    B.       C.　  　D. 参考答案： B 9. 如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　） A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D． 参考答案： D 【考点】71：不等关系与不等式． 【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论． 【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确． 可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确． 可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确． 故选D． 10. 若,那么满足的条件是（   ） A．       B．      C．      D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为　   　万元． 参考答案： 130 【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．本题中a就是2016年的经营收入，b就是2018年的经营收入，从而可求出增长率的值，进而可求2017年预计经营总收入． 【解答】解：2016年的经营总收入为400÷40%=1000（万元）． 设年增长率为x（x＞0），依题意得，1000（1+x）2=169， 解得：x1=0.3，x2=﹣2.3， ∵x＞0 ∴x2=﹣2.3不合题意， ∴只取x1=0.3． 1000（1+x）=1000×1.3=130（万元）． 即2017年预计经营总收入为130万元． 故答案为：130． 　 12. 一组数1，3，的方差是，则              ． 参考答案： 2 13. 函数的定义域为      (用区间表示)． 参考答案： 解得，即定义域为. 14. 若方程的两实根分别为，且，则的取值范围是        . 参考答案： （2，） 15. 已知函数的定义域为R,函数的值域为R,则实数的取值范围是___________ 参考答案： 16. 已知数列{an}是公差不为零的等差数列，，且成等比数列，则数列{an}的通项公式为          ． 参考答案： 2n 17. 已知集合，，若，则m所能取的一切值构成的集合为            ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （10分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB上一点 （Ⅰ）当点E在AB上移动时，三棱锥D﹣D1CE的体积是否变化？若变化，说明理由；若不变，求这个三棱锥的体积 （Ⅱ） 当点E在AB上移动时，是否始终有D1E⊥A1D，证明你的结论． 参考答案： 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： （ I）由于△DCE的体积不变，点E到平面DCC1D1的距离不变，因此三棱锥D﹣D1CE的体积不变． （II）利用正方形的性质、线面垂直的判定余弦值定理可得A1D⊥平面AD1E，即可证明． 解答： （ I）三棱锥D﹣D1CE的体积不变， ∵S△DCE===1，DD1=1． ∴===． （ II）当点E在AB上移动时，始终有D1E⊥A1D， 证明：连接AD1，∵四边形ADD1A1是正方形， ∴A1D⊥AD1， ∵AE⊥平面ADD1A1，A1D?平面ADD1A1， ∴A1D⊥AB． 又AB∩AD1=A，AB?平面AD1E， ∴A1D⊥平面AD1E， 又D1E?平面AD1E， ∴D1E⊥A1D． 点评： 本题考查了正方形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19. 解关于x的不等式：，其中a是实数． 参考答案： 略 20. （本题满分12分）已知一个三棱柱的正视图、侧视图、直观图，且AB=AC。①请画出三棱柱的俯视图；②求该三棱柱的体积；③求与平面所成角的正切值。 参考答案： 19、（本题满分12分）解：①如图 ②由图可知，又 所以 ③面，所以即为直线在平面内的射影，故直线与平面 所成的角为，在中，因为，，而由视图可知三角形的高是，所以，由②得，所以 略 21. （12分）已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1} （1）若a=，求A∩B． （2）若A∩B=?，求实数a的取值范围． 参考答案： 考点： 集合关系中的参数取值问题；交集及其运算． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： （1）当a=时，A={x|}，可求A∩B （2）若A∩B=?，则A=?时，A≠?时，有，解不等式可求a的范围 解答： （1）当a=时，A={x|}，B={x|0＜x＜1} ∴A∩B={x|0＜x＜1} （2）若A∩B=? 当A=?时，有a﹣1≥2a+1 ∴a≤﹣2 当A≠?时，有 ∴﹣2＜a≤或a≥2 综上可得，或a≥2 点评： 本题主要考查了集合交集的求解，解题时要注意由A∩B=?时，要考虑集合A=?的情况，体现了分类讨论思想的应用． 22. 某公司经营一批进价为每件4百元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x（百元）与日销售量y（件）之间有如下关系（计算结果精确到0.1）： x（百元） 5 6.5 7 8.5 9 y（件） 12 8 7 2 1   （1）求y关于x的回归直线方程； （2）借助回归直线方程请你预测，销售单价为多少百元时，日利润最大？（附相关公式：，） 参考答案： （1）；（2）销售单价为百元（精确到个位数）时，日利润最大. 试题分析：（1）根据已知中的数据，利用最小二乘法，可得，之间的线性回归方程；（2）根据（1）中回归方程，求出日销售量，进而求出日利润，结合二次函数的图象和性质，可得答案. 试题解析：（1）因为，， 所以，， ， 于是得到关于的回归直线方程. （2）销售价为时的利润为， 当时，日利润最大. 考点：线性回归方程. 【方法点晴】本题考查的知识点是相关系数，回归方程，熟练掌握最小二乘法的计算步骤，是解答的关键；线性回归是利用数理统计中的回归分析，来确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法之一，运用十分广泛．分析按照自变量和因变量之间的关系类型，可分为线性回归分析和非线性回归分析．如果在回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析．