河北省张家口市蔚县西合营中学2022年高三数学理联考试题含解析

河北省张家口市蔚县西合营中学2022年高三数学理联考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是    A.          B.          C.       D. 参考答案： A 2. 集合A={－1,0,1}的子集中，含有元素0的子集共有 A. 2个 B. 4个 C. 6个 D. 8个 参考答案： B 试题分析：中含有元素0的子集有：，共四个，故选B. 考点：集合的子集. 3. 已知为等比数列，，，则（     ）                     参考答案： D   【知识点】等比数列的性质；等比数列的通项公式D3 解析：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8 ∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4，当a4=4，a7=﹣2时，， ∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1 ∴a1+a10=﹣7，综上可得，a1+a10=﹣7，故选D 【思路点拨】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可。 4. 已知集合M={x|（x﹣3）（x+1）≤0}，N={x|﹣2≤x≤2}，则M∩N=（　　） A．[﹣1，2] B．[﹣2，﹣1] C．[﹣1，1] D．[1，2] 参考答案： A 【考点】交集及其运算． 【分析】求出集合M中不等式的解集，确定出集合M，找出两解集的公共部分即可确定出两集合的交集 【解答】解：由（x﹣3）（x+1）≥0， 解得：﹣1≤x≤3， ∴M={x|﹣1≤x≤3}， ∵N={x|﹣2≤x≤2}， 则M∩N={x|﹣1≤x≤2}=[﹣1，2] 故选A 5. 设方程 的两个根为，则                                 （       ） （A）    （B）    （C）    （D） 参考答案： C 略 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.        B.            C.          D. 参考答案： 【知识点】三视图G2 B解析：根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，如图所示, 且平面，平面，底面为正方形，则有,所以和到平面的距离相等，且为，故, ，则该几何体的体积为. 【思路点拨】由三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体，分别按照四棱锥和三棱锥的体积公式求解即可. 7. 已知 （i是虚数单位），则|1+z|=  (   ) A、1          B、0            C、     D、2    参考答案： A 8. 设P、Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P且x?Q}为P、Q的“差集”，已知P={x|1﹣＜0}，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（　　） A．{x|0＜x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2≤x＜3} 参考答案： B 【考点】元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法． 【分析】首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}，求出P﹣Q即可． 【解答】解：∵ 化简得：P={x|0＜x＜2} 而Q={x||x﹣2|＜1} 化简得：Q={x|1＜x＜3} ∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x?Q}， ∴P﹣Q={x|0＜x≤1} 故选B 【点评】本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题． 9. 设是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，=，则=  (A) -    (B)   (C)   (D) 参考答案： A. 本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，难度较低. 因为函数为的奇函数，所以，又因为 的函数解析式为，求得. 10. 已知平面向量，，则（    ） A．(－2,－1)        B．(－2,1)       C．(－1,0)         D．(－1,2) 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,若B=2A，_____ 参考答案： 2 12. 在等比数列中，，，则   ▲   ． 参考答案： 13. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为　　． 参考答案： 8﹣2π 【考点】由三视图求面积、体积． 【专题】计算题；空间位置关系与距离． 【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体，再根据题目中的数据求出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是一正方体，去掉一圆柱体的组合体， 且正方体的棱长为2， 圆柱体的底面圆半径为2，高为2； ∴该几何体的体积为 V=V正方体﹣V圆柱体 =23﹣×π×22×2 =8﹣2π． 故答案为：8﹣2π． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了空间想象能力与计算能力，是基础题目． 14. 已知函数，则的值为（   ） A．2         B．3        C．4        D．5 参考答案： A 试题分析：故选A.111] 考点：1、分段函数求值；2、对数运算． 15. （几何证明选做题）如图，已知△的两条直角边、的长分别为 cm、cm，以为直径作圆与斜边交于点，则的长为________cm.   参考答案： 16. 设函数f（x）=，若f（a）＞f（1），则实数a的取值范围是　　． 参考答案： a＞1或a＜﹣1 【考点】7E：其他不等式的解法． 【分析】把不等式转化为两个不等式组，解不等式组可得． 【解答】解：由题意可得f（1）=21﹣4=﹣2， ∴f（a）＞f（1）可化为或， 分别解不等式组可得a＞1或a＜﹣1 故答案为：a＞1或a＜﹣1． 17. ，则______________． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 参考答案： 解解：⑴当千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升） ⑵设速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得    令，得 当时，，是减函数,当时，， 是增函数∴当时，取得极小值 此时  （升） 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙耗油量少，最少为11.2升 19. 已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）． （1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离． 参考答案： 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，利用互化公式化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），相减消去参数t化为普通方程． （2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==，即可得出最小值． 【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4． 直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3． （2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1． 若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（cosθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号． 因此最小距离为：． 20. 已知直线l1：（t为参数），圆C1：（x﹣）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立直角坐标系． （1）求圆C1的极坐标方程，直线l1的极坐标方程； （2）设l1与C1的交点为M，N，求△C1MN的面积． 参考答案： 【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）根据，求出极坐标方程即可；（2）求出，从而求出三角形的面积即可． 【解答】解：（1）因为，将其代入C1展开整理得： ， ∴圆C1的极坐标方程为：， l1消参得（ρ∈R）， ∴直线l1的极坐标方程为：（ρ∈R）． （2） ??， ∴． 【点评】本题考查了参数方程和极坐标方程以及普通方程的转化，考查求三角形的面积，是一道中档题． 21. 某工厂为提高生产效益，决定对一条生产线进行升级改造，该生产线升级改造后的生产效益万元与升级改造的投入万元之间满足函数关系： （其中m为常数） 若升级改造投入20万元，可得到生产效益为35.7万元.试求该生产线升级改造后获得的最大利润.（利润=生产效益投入） （参考数据：）   参考答案： 24.4万元   由题意可得，35.7=mln20-4+×20+ln10， 解得，m=-1，则y=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10） 设利润为f（x）=y-x=-lnx-x2+x+ln10-x=-lnx-x2+x+ln10，（x＞10） 易得，f′（x）=--+=，又∵x＞10，∴当10＜x＜50时，f′（x）＜0， 当x＞50时，f′（x）＞0，则x=50时，函数f（x）有最大值， 即f（50）=-ln50-×（50）2+×50+ln10=24.4（万元） 答：该生产线升级改造后获得的最大利润为24.4万元．   略 22. 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）M是C1上的动点，P点满足=2，P点的轨迹为曲线C2 （Ⅰ）求C2的方程； （Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ=与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|． 参考答案： 【考点】简单曲线的极坐标方程；轨迹方程． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（I）先设出点P的坐标，然后根据点P满足的条件代入曲线C1的方程即可求出曲线C2的方程； （II）根据（I）将求出曲线C1的极坐标方程，分别求出射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1，以及射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2，最后根据|AB|=|ρ2﹣ρ1|求出所求． 【解答】解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上， 所以即 从而C2的参数方程为 （α为参数） （Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ． 射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin， 射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin． 所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=． 【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，以及轨迹方程的求解和线段的度量，属于中档题．