湖南省邵阳市东方中学高一数学理上学期期末试卷含解析

湖南省邵阳市东方中学高一数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算出A、B两点的距离为（　　） A． m B． m C． m D． m 参考答案： A 【考点】解三角形的实际应用． 【分析】依题意在A，B，C三点构成的三角形中利用正弦定理，根据AC，∠ACB，B的值求得AB 【解答】解：由正弦定理得， ∴， 故A，B两点的距离为50m， 故选A 2. 已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（1，+∞） D．（0，1] 参考答案： D 【考点】分段函数的应用． 【分析】画出函数f（x）=的图象，和直线y=k，将关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点．通过平移直线，观察即可得到． 【解答】解：画出函数f（x）=的图象， 和直线y=k， 关于x的方程f（x）=k有两个不等的实根等价于f（x）的图象与直线有且只有两个交点． 观察得出： （1）k＞1，或k＜0有且只有1个交点； （2）0＜k≤1有且只有2个交点． 故实数k的取值范围是（0，1]． 故选D． 3. 现用系统抽样方法从已编号（1﹣60）的60枚新型导弹中，随机抽取6枚进行试验，则所选取的6枚导弹的编号可能是（　　） A．5，10，15，20，25，30 B．2，4，8，16，32，48 C．5，15，25，35，45，55 D．1，12，34，47，51，60 参考答案： C 【考点】系统抽样方法． 【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】由系统抽样的特点知，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为总体的个数除以样本容量．从所给的四个选项中可以看出间隔相等且组距为10的一组数据是由系统抽样得到的． 【解答】解：从60枚某型导弹中随机抽取6枚， 采用系统抽样间隔应为=10， 只有C答案中导弹的编号间隔为10， 故选：C． 【点评】一般地，要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，可将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本． 4. 已知，，且，若恒成立，则实数m的取值范围是（  ） A． (－∞,6)        B． (－∞,6]      C. (－∞,8]        D．(－∞,8) 参考答案： D 因为， 所以.   5. 已知函数，则（　　） A．　　           B．　           　C．　          　D． 参考答案： A 6. 函数的零点是                      （      ）   A．         B．         C．       D． 参考答案： D 略 7. 函数在上的最大值和最小值分别是（   ） A．2，1        B．2，－7     C．2，－1     D．－1，－7 参考答案： B 略 8. 已知，则_____________。 参考答案：   9. 平面α，β和直线m，给出条件：①m?α；②m⊥α；③m∥α；④α∥β；⑤α⊥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的条件（　　） A．①⑤ B．①④ C．②⑤ D．③⑤ 参考答案： B 【考点】LU：平面与平面平行的判定． 【分析】利用面面平行的性质即可得出． 【解答】解：∵m?α，α∥β，∴m∥β． 故①④?m∥β． 故选B． 【点评】熟练掌握面面平行的性质是解题的关键． 10. 已知某函数的图像如图所示，则该函数的值域为 （   ） A、  B、 C、 D、 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 幂函数的图像经过点，则实数     参考答案： ∵点在函数的图象上， ∴， ∴。 答案：   12. 设，不等式对满足条件的，恒成立，则实数m的最小值为________． 参考答案： 【分析】 将不等式对满足条件的，恒成立，利用，转化为不等式对满足条件的恒成立，即不等式对满足条件的恒成立，然后用二次函数的性质求的最大值即可。 【详解】因为， 所以， 因为不等式对满足条件的，恒成立， 所以不等式对满足条件的恒成立， 即不等式对满足条件的恒成立， 令， 所以，， 所以实数m的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，还考查了换元的思想和运算求解的能力，属于中档题. 13. 已知：在锐角三角形中，角对应的边分别是，若，则角为   ▲   . 参考答案： 14. 已知，则               ． 参考答案： 15. 命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是_________________． 参考答案： 所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0 解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定． 16. 已知，则sinθcosθ=　     　，cosθ﹣sinθ=　    　． 参考答案： ﹣，． 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】推导出sinθ+cosθ=，从而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，由此能求出sinθcosθ，从而cosθ﹣sinθ==，由此能求出结果． 【解答】解：∵， ∴sin=（sinθ+cosθ）=， ∴sinθ+cosθ=， ∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=， 解得sinθcosθ=﹣， ∴cosθ﹣sinθ====． 故答案为：﹣，． 【点评】本题考查三角函数求值，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用． 17. 函数的最小正周期为________． 参考答案：   略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分） 设全集U=R，集合A=，B=。 （1）求； （2）若集合C=，满足B∪C=C，求实数a的取值范围。 参考答案： （1）B=………………2分 = ………………6分 （2）， ………………8分   ………………10分 19. 在中，内角对边的边长分别是，已知，,，求的面积． 参考答案： 解：由余弦定理得，， ∵，由正弦定理得：， 联立方程组解得：，． 所以的面积． 20. 已知函数. ⑴若函数f(x)的图象经过点(4,3)，求实数b的值. ⑵当时，函数的最小值为1，求当时，函数最大值. 参考答案： ⑴b＝2；⑵见解析. 【分析】 （1）把点的坐标代入f（x）计算； （2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值． 【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2． （2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b． ①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数， ∴fmin（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣． ∴fmax（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13． ②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数， ∴fmin（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝（舍）． ③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数． ∴fmin（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝或b＝﹣（舍）． ∴fmax（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+2． 综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+2． 【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题． 21. 已知定义在上的函数是偶函数，且时，  ， (1)求解析式；   (2)写出的单调递增区间。（本题满分12分） 参考答案： （1）时，-x>0  ∵时  ∴ （2分） ∵是偶函数， （4分） 时，（6分） ； （8分）  （2）,  （12分）   22. 已知函数． （1）判断f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）证明：函数f（x）在内是增函数． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明． 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义去判断．（2）利用函数单调性的定义去证明． 【解答】解：（1）函数的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞） ∵， ∴f（x）是奇函数． （2）设，且x1＜x2 则=， ∵， ∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣2＞0，x1x2＞0 ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2） 故f（x）在内是增函数．