江西省萍乡市大安中学高三数学理联考试卷含解析

江西省萍乡市大安中学高三数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数，则是    （    ）   A．最小正周期为的偶函数        B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数       D．最小正周期为的奇函数 参考答案： D 2. 在2012年8月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示： 价格x 9 9.5 10 10.5 11 销售量y 11 10 8 6 5 由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是：＝－3.2 x＋a，则a＝(　　) A．－24       B．35.6     C．40.5       D．40 参考答案： D 3. 某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则a的值是（   ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 参考答案： D 分析】 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的，的值，当时，根据题意，此时应该满足条件，退出循环，输出的值为，从而得解． 【详解】模拟执行程序框图，可得 ， 不满足条件，， 不满足条件，， 不满足条件，， 不满足条件，， 根据题意，此时应该满足条件，退出循环，输出的值为． 故选：． 【点睛】本题主要考查了循环结构，根据的值正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题． 4. 对，23x≤logax+1恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】函数恒成立问题；全称命题． 【分析】先构造函数f（x）=x2+x，g（x）=﹣logax．h（x）=f（x）+g（x），将问题等价转化为函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0，又函数为增函数，故可求答案． 【解答】解：构造函数f（x）=23x，g（x）=﹣logax﹣1． h（x）=f（x）+g（x）．（0＜x＜） 易知，在区间（0，）上，函数f（x），g（x）均是递增函数， ∴函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，）上是递增函数． 由题设可知，函数h（x）在区间（0，）上恒有h（x）≤0． ∴必有h（）≤0． 即有2﹣loga（）﹣1≤0． 整理就是logaa=1≤loga（）， ∴实数a的取值范围是≤a＜1． 故选C． 5. 下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A． B． C． D． 参考答案： B 6. 能够把椭圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为椭圆的“亲和函数”，下列函数是椭圆的“亲和函数”的是（　　）   A．              B．   C．           D． 参考答案： B 略 7. 函数为R上的单调函数，则实数的取值范围是（  ） A.        B.      C.      D. 参考答案： A 略 8. 在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若,,,则b等于(    ) A.1          B.         C.         D.2  参考答案： A 9. 设在内单调递增，对任意恒成立，则是的              （    ） A．充分不必要条件       B．必要不充分条件     C．充要条件             D．既不充分又不必要条件 参考答案： B 略 10. 使奇函数f（x）=sin（2x+θ）+cos（2x+θ）在[﹣，0]上为减函数的θ值为（　　） A．﹣ B．﹣ C． D． 参考答案： D 【考点】正弦函数的奇偶性；正弦函数的单调性． 【专题】计算题． 【分析】首先根据已知将函数f（x）化简为f（x）=2sin（2x+θ+），然后根据函数的奇偶性确定θ的取值，将选项分别代入验证再根据单调性即可排除选项． 【解答】解：由已知得：f（x）=2sin（2x+θ+）， 由于函数为奇函数， 故有θ+=kπ 即：θ=kπ﹣（k∈Z），可淘汰B、C选项 然后分别将A和D选项代入检验， 易知当θ=时， f（x）=﹣2sin2x其在区间[﹣，0]上递减，故选D、 故答案为：D 【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和单调性，通过对已知函数的化简，判断奇偶性以及单调性，通过对选项的分析得出结果．考查了对三角函数图象问题的熟练掌握和运用，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 以F1（－1,0）、F2（1,0）为焦点，且经过点M（1，－）的椭圆的标准方程为＿＿＿ 参考答案： . 12. 实数a∈[0，3]，b∈[0，2]，则关于x的方程x2+2ax+b2=0有实根的概率是　　． 参考答案： 考点： 几何概型．3804980 专题： 概率与统计． 分析： 首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a2≥b2．本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率． 解答： 解：方程有实根时，△=（2a）2﹣4b2≥0，即a2≥b2．记方程x2+2ax+b2=0有实根的事件为A． 设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6． 由于a在[0，3]上随机抽取，b在[0，2]上随机抽取， 所以，组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的． 又由于满足条件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a2≥b2，即a≥b的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为 ×（1+3）×2=4， 所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）==． 所以，方程x2+2ax+b2=0有实根的概率为 ． 故答案为：． 点评： 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到． 13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______. 参考答案： 【分析】 由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体,由柱体体积公式计算可得答案. 【详解】由三视图可知，该几何体由上部四棱柱、下部圆柱组成的组合体， 四棱柱的底面为边长为3的正方形，高为1，故体积为：， 圆柱的底面圆直径为1，高为2，故体积为：， 所求体积为， 故答案为： 【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解． 14. 已知锐角三角形的边长分别为2,4,x，则x的取值范围为             . 参考答案： 15. 定义在正整数集上的函数满足（1）；（2），则有                  参考答案： 【知识点】抽象函数及其应用．B10 【答案解析】 ; 解析：注意到和， 易求得； 因为，所以 故有 【思路点拨】由于f（f（n））=4n+3，f（125）=m，则f（m）=f（f（125）），令n=125，即可得到f（m）；由于f（f（n））=4n+3，将n换成f（n），得到f（f（f（n）））=f（4n+3）=4f（n）+3，由于2015=4×503+3，503=4×125+3，代入上式，即可得到f（2015）． 16. 数列{an}满足a1+a2+a3+…an=2n﹣an（n∈N+）．数列{bn}满足bn=，则{bn}中的最大项的值是　 　． 参考答案：   【考点】数列递推式． 【分析】由已知数列递推式可得，数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入bn=，再由数列的函数特性求得{bn}中的最大项的值． 【解答】解：由a1+a2+a3+…an=2n﹣an，得Sn=2n﹣an， 取n=1，求得a1=1； 由Sn=2n﹣an，得Sn﹣1=2（n﹣1）﹣an﹣1（n≥2）， 两式作差得an=2﹣an+an﹣1，即（n≥2）， 又a1﹣2=﹣1≠0， ∴数列{an﹣2}构成以为公比的等比数列， 则， 则bn==， 当n=1时，，当n=2时，b2=0，当n=3时，， 而当n≥3时，， ∴{bn}中的最大项的值是． 故答案为：． 　 17. 若曲线f（x）=在点（a，f（a））处的切线与两坐标轴围成的图形的面积为，则a的值为　　． 参考答案： 1 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】求导数可得切线的斜率，由点斜式方程进而可得切线的方程，可得其截距，运用三角形的面积公式可得a的方程，解方程可得． 【解答】解：对y=求导数可得y′=， ∴曲线在P（a，）处的切线斜率为k=， ∴切线方程为：y﹣=（x﹣a）， 令x=0，可得y=，即直线的纵截距为， 令y=0，可得x=﹣a，即直线的横截距为﹣a， ∴切线与两坐标轴围成的三角形的面积为： S=||?|﹣a|=，解得a=1． 故答案为：1． 【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属基础题． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 选修4-1：几何证明选讲 如图，四点在同一圆上，与的延长线交于点，点在的延长线上. （1）若，，求的值； （2）若，证明：. 参考答案： .……………………………………………………  10分 考点：1.四点共圆的性质；2.相似三角形的证明. 略 19. 已知函数和点，过点作曲线的两条切线、，切点分别为、． （Ⅰ）求证：|MN|= （Ⅱ）是否存在，使得、与三点共线．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若对任意的正整数，在区间内总存在个实数，，使得不等式成立，求的最大值． 参考答案： 解：（Ⅰ）设、两点的横坐标分别为、，  ，             ∴切线的方程为：， 又切线过点， 有，即，  （1）  同理，由切线也过点，得．（2） 由（1）、（2），可得是方程的两根，  （ * ）             ， 把（ * ）式代入,得, 因此，函数的表达式为．      （Ⅱ）当点、与共线时，， ＝，即＝， 化简，得，                  ，．    （3）  把（*）式代入（3），解得．     存在，使得点、与三点共线，且 ．     （Ⅲ）解法：易知在区间上为增函数，，                则．    依题意，不等式对一切的正整数恒成立， ， 即对一切的正整数恒成立．   ， ， ．   由于为正整数，．             又当时，存在，，对所有的满足条件． 因此，的最大值为．                                      解法：依题意，当区间的长度最小时，得到的最大值，即是所求值． ，长度最小的区间为，      当时，与解法相同分析，得，解得．                略 20. 定义函数． (1)令函数的图象为曲线求与直线垂直的曲线的切线方程； (2)令函数的图象为曲线，若存在实数b使得曲线 在处有斜率为的切线，求实数a的取值范围； (3)当，且时，证明． 参考答案： 解：（1）