2022-2023学年湖北省孝感市乡厉店中学高一数学理模拟试题含解析

2022-2023学年湖北省孝感市乡厉店中学高一数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. sin（﹣π）的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 参考答案： D 【考点】运用诱导公式化简求值． 【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【解答】解：sin（﹣π）=sin（4π﹣π）=sin=sin=， 故选：D． 2. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（    ） A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 参考答案： B 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又,则,故选B. 3. 在所在平面上有一点，满足，则与的面积之比是（    ） 参考答案： A 4. △ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知，则△ABC是（    ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 参考答案： B 【分析】 由题，利用正弦定理和内角和定理化简可得，再利用余弦定理可得，可得结果. 【详解】由题，已知 ， 由正弦定理可得： 即 又因为 所以 即 由余弦定理： 即 所以 所以三角形一定是等腰三角形 故选B 【点睛】本题考查了正余弦定理解三角形，解题的关键是在于正余弦的合理运用，属于中档题. 5. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，E是边BC的中点，D是边AC上一动点，则?的取值范围是（　　） A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[0，2] D．[﹣2，0] 参考答案： B 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、， 再求出数量积?的取值范围． 【解答】解：根据题意，建立平面直角坐标系如图所示； 则A（0，0），B（2，0），C（0，2），E（1，1）， 设D（0，y），则0≤y≤2； ∴=（1，1），=（﹣2，y）， ∴?=1×（﹣2）+y=y﹣2； 由y∈[0，2]，得y﹣2∈[﹣2，0]， ∴的取值范围是[﹣2，0]． 故选：B． 6. 已知等差数列…，则使得取得最大值的n值是（   ） （A）15　   　　（B）7         （C）8和9        (D) 7和8   参考答案： D 略 7. 若在轴和轴上的截距分别是－3和4,则和 和值分别是（   ） A、4,3        B、－4,3        C、4,－3         D、－4,－3 参考答案： C 8. 设是方程的两个根，则的值为 A.  -3       B.   -1        C.   1           D.  3 参考答案： A 9. 已知不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}，则a﹣b的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 参考答案： D 【考点】一元二次不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}，可得﹣2，是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出． 【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＞0的解集是{x|﹣2＜x＜﹣}， ∴﹣2，是一元二次方程ax2+bx﹣2=0的两个实数根， ∴=﹣， =﹣， 解得a=﹣4，b=﹣9． ∴a﹣b=5． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考查了计算能力，属于基础题． 10. 函数的的定义域是（      ） A． B．    C．    D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给定映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），则映射f下的对应元素为（3，1），则它原来的元素为　　． 参考答案： （1，1） 【考点】映射． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】本题已知映射f的对应法则和映射的象，可列出参数x、y相应的关系式，解方程组求出原象，得到本题题结论． 【解答】解：∵映射f：（x，y）→（x+2y，2x﹣y），映射f下的对应元素为（3，1）， ∴， ∴． ∴（3，1）原来的元素为（1，1）． 【点评】本题考查的是映射的对应关系，要正确理解概念，本题运算不大，属于容易题． 12. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是、、，若，，∠C＝30o；则△ABC的面积是        参考答案： 略 13. 若则             . 参考答案： 1 14. 总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为　　．   7816   6572   0802   6314   0214   4319   9714   0198   3204   9234   4936   8200   3623   4869   6938   7181 参考答案： 01 【考点】系统抽样方法． 【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论． 【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，19，14，01，04，00．其中第三个和第五个都是14，重复． 可知对应的数值为08，02，14，19，01， 则第5个个体的编号为01． 故答案为：01． 15. 设数集，，且都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的长度的最小值是          ． 参考答案： 略 16. 已知则=　  　． 参考答案： 0 【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值． 【分析】因为，所以可以直接求出：，对于，用表达式的定义得， 从而得出要求的答案． 【解答】解：∵ ∴ 而 = ∴ 故答案为：0 17. 函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________． 参考答案： (－∞,－1) 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分14分）等差数列的前n项和记为.已知． （Ⅰ）求通项；（Ⅱ）若，求n. 参考答案： （1）（2） 19. 参考答案： 解：（1）圆化成标准方程为：， 　所以圆心为，半径．                 ……2分 (2)设以线段为直径的圆为，且圆心的坐标为．                      由于，，即， ∴　①          ……3分 由于直线过点，所以的方程可写这为，即， 因此．   ……4分 又， ． ……5分 而， 所以　②        ……6分 　    　由①②得：． 当时，，此时直线的方程为； 当时，，此时直线的方程为． 所以，所求斜率为1的直线是存在的，其方程为或.     ……8分   略 20. （本小题满分13分）   已知，求函数的最大值和最小值。 参考答案： 21. 已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）． （1）若a=1，求方程f（x）=g（x）的解； （2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围； （3）若a＞0，记F（x）=g（x）f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值． 参考答案： 【考点】函数的最值及其几何意义；分段函数的应用． 【分析】（1）代值计算即可． （2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围； （3）F（x）=f（x）?g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，③当2＜a≤4时，④当a＞4时，最后综上所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论． 【解答】解：（1）当a=1时，|x﹣1|=x，即x﹣1=x或x﹣1=﹣x， 解得x=； （2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解， 等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解， 即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解， 令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2， 因为h（0）=﹣a2＜0，所以， 故0＜a＜1； 同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0； 当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去． 综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）． （3）令F（x）=f（x）?g（x） ①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax）， 对称轴x=，函数在[1，2]上是增函数， 所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2． ②当1＜a≤2时，F（x）=，对称轴x=， 所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2， 1）若F（1）＜F（2），即1＜a＜，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2； 2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a． ③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴x=， 此时F（x）max=F（）=， ④当a＞4时，对称轴x=，此时F（x）max=F（2）=2a2﹣4a． 综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值． 22. （本小题满分10分） 有一座圆弧形拱桥，它的跨度为60米，拱高为18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，就要采取紧急措施，有一次洪水来袭，拱顶离水面只有4米，是否采取紧急措施？ 参考答案： 解：如图，以跨度所在直线为轴，拱高为轴，建立平面直角坐标系，…………………………2分 设圆弧形拱桥所在的圆的方程为，把三点坐标带入方程 得…………………6分… ………………………7分 当拱顶离水面只有4米，即水面所在直线为，带入圆的方程，得…………8分 所以此时跨度有32米，大于30米，因此不用采取措施。……………10分 略